À quoi sert ce calculateur
Cet outil dresse une table des combinaisons avec répétition, aussi appelées coefficients multiensembles. À partir de n types d'éléments distincts, il calcule le nombre de sélections non ordonnées de taille r que l'on peut former lorsque chaque élément peut être choisi autant de fois que l'on veut — et ce pour chaque entier r compris entre une valeur de départ et une valeur d'arrivée. Cette fonction se note \(H(n, r)\) et vaut le coefficient binomial \(C(n + r - 1, r)\).
Comment l'utiliser
Saisissez le nombre d'éléments distincts n (au moins 1), puis une valeur de départ et une valeur d'arrivée pour r. Le calculateur renvoie une ligne par valeur de r, chacune affichant le décompte exact \(H(n, r)\). Comme ces nombres croissent extrêmement vite, le moteur s'appuie sur une arithmétique exacte en grands entiers : même les grandes tables restent parfaitement précises.
La formule expliquée
Le célèbre argument des « étoiles et barres » montre que choisir r éléments parmi n types avec répétition revient à répartir r étoiles identiques dans n cases séparées par n − 1 barres. Le nombre d'agencements de ces n + r − 1 symboles vaut \(C(n + r - 1, r)\).
$$\overline{C}(n, r) = \binom{n + r - 1}{r} = \frac{(n + r - 1)!}{r!\,(n - 1)!}$$
Deux cas particuliers méritent l'attention : \(H(n, 0) = 1\) (la sélection vide) et \(H(1, r) = 1\) (il n'existe qu'un seul multiensemble formé de r copies de l'unique élément).
Exemple détaillé
Prenons \(n = 5\) et r de 0 à 4.
$$H(5,0) = C(4,0) = 1$$$$H(5,1) = C(5,1) = 5$$$$H(5,2) = C(6,2) = 15$$$$H(5,3) = C(7,3) = 35$$$$H(5,4) = C(8,4) = 70$$La table donne donc 1, 5, 15, 35, 70. Pour une seconde vérification :
$$H(30,4) = C(33,4) = \frac{33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30}{24} = 40920$$FAQ
En quoi est-ce différent des combinaisons ordinaires ? Les combinaisons ordinaires \(C(n, r)\) interdisent les répétitions ; ici, chaque type d'élément peut être choisi plusieurs fois, ce qui explique pourquoi l'indice devient \(n + r - 1\).
L'ordre compte-t-il ? Non. {A, A, B} désigne la même sélection que {B, A, A}. Si l'ordre importait, vous utiliseriez plutôt les arrangements avec répétition (\(n^r\)).
Pourquoi les résultats deviennent-ils si grands ? Le coefficient multiensemble croît à peu près comme un polynôme de degré \(n - 1\) en r ; un grand n ou un grand r produit donc des entiers astronomiques — gérés ici grâce à une arithmétique exacte.
