Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, tekrarlı kombinasyonların (diğer adıyla multiküme katsayılarının) bir tablosunu oluşturur. n farklı öğe türü verdiğinizde, her öğenin istediğiniz kadar çok seçilebildiği durumda, r boyutlu kaç farklı sırasız seçim yapabileceğinizi hesaplar — üstelik bunu, belirlediğiniz bir başlangıç değerinden bitiş değerine kadar her tam sayı r için yapar. Bu fonksiyon \(H(n, r)\) biçiminde yazılır ve \(C(n + r - 1, r)\) binom katsayısına eşittir.
Nasıl kullanılır?
Önce farklı öğe sayısı n değerini girin (en az 1 olmalı), ardından r için bir başlangıç ve bir bitiş değeri belirtin. Hesaplayıcı her r için bir satır döndürür ve her satırda \(H(n, r)\) değerinin tam sonucunu gösterir. Bu sayılar inanılmaz hızla büyüdüğü için motor, tam büyük sayı aritmetiği kullanır; böylece büyük tablolarda bile hassasiyet hiç bozulmaz.
Formülün açıklaması
Klasik "yıldızlar ve çubuklar" (stars and bars) yöntemi şunu gösterir: n türden tekrarlı olarak r öğe seçmek, r tane özdeş yıldızı, aralarına n - 1 çubuk konularak ayrılmış n kutuya yerleştirmekle aynı şeydir. Bu n + r - 1 sembolün dizilme sayısı \(C(n + r - 1, r)\)'dir. İki özel durum önemlidir: \(H(n, 0) = 1\) (boş seçim) ve \(H(1, r) = 1\) (tek öğeden r kopyalı yalnızca tek bir multiküme vardır).
$$\overline{C}(n, r) = \binom{\text{Items }(n) + r - 1}{r} = \frac{\left(\text{Items} + r - 1\right)!}{r!\,\left(\text{Items} - 1\right)!}$$
Çözümlü örnek
\(n = 5\) ve r'yi 0'dan 4'e kadar alalım. \(H(5,0) = C(4,0) = 1\), \(H(5,1) = C(5,1) = 5\), \(H(5,2) = C(6,2) = 15\), \(H(5,3) = C(7,3) = 35\) ve \(H(5,4) = C(8,4) = 70\). Yani tablo şöyle olur: 1, 5, 15, 35, 70. İkinci bir kontrol olarak,
$$H(30,4) = C(33,4) = \frac{33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30}{24} = 40920.$$Sıkça sorulan sorular
Bu, sıradan kombinasyondan nasıl farklı? Sıradan kombinasyonlarda \(C(n, r)\) tekrara izin verilmez; burada ise her öğe türü birden fazla kez seçilebilir, işte tam da bu yüzden indeks \(n + r - 1\) hâline gelir.
Sıralama önemli mi? Hayır. {A, A, B} ile {B, A, A} aynı seçimdir. Eğer sıralama önemli olsaydı, bunun yerine tekrarlı permütasyonları (\(n^r\)) kullanırdınız.
Sonuçlar neden bu kadar büyüyebiliyor? Multiküme katsayısı, r'ye göre yaklaşık olarak \(n - 1\) dereceli bir polinom gibi büyür; bu nedenle büyük n veya büyük r değerleri astronomik boyutta tam sayılar üretir — ki bunlar burada tam aritmetikle sorunsuzca işlenir.
