Tekrarlı permütasyon nedir?
Tekrarlı permütasyon (yerine koyarak permütasyon olarak da bilinir), n farklı öğeden oluşan bir kümeden seçilen r öğenin, her öğenin istediğiniz kadar çok kez yeniden kullanılabildiği durumdaki sıralı dizilişlerinin sayısını verir. r konumun her biri bağımsız olarak n öğeden herhangi biriyle doldurulabildiği için toplam sayı, n'nin kendisiyle r kez çarpımıdır; yani \({}_{\text{n}}\Pi_{r} = \text{n}^{\,r}\) olarak yazılır. Bu, tekrara izin vermeyen sıradan permütasyonlardan (\({}_{\text{n}}P_{r} = \frac{\text{n}!}{(\text{n}-r)!}\)) farklıdır.
Bu hesaplayıcı nasıl kullanılır?
Farklı öğelerin sayısı olan n'yi girin, ardından r'nin başlangıç ve bitiş değerlerini seçin. Araç, bu aralıktaki her tam sayı r için bir satır oluşturur (sınırlar dâhil) ve her biri için \(\text{n}^{\,r}\) değerini yazdırır. Bu sayılar son derece hızlı büyüdüğünden, hesaplayıcı içeride tam değerli büyük tam sayı aritmetiği kullanır ve kaç anlamlı basamağın gösterileceğini seçmenize olanak tanır (varsayılan 18). Başlangıç değerini bitiş değerinden büyük girerseniz, tablo yine de artan sırada okunsun diye bunlar yer değiştirilir.
Formülün açıklaması
Temel kural şudur:
$$ {}_{\text{n}}\Pi_{r} = \text{n}^{\,r}, \quad r = \text{r}_{\text{start}}, \dots, \text{r}_{\text{end}} $$r konumun her biri n seçenek arasından bağımsız bir tercihtir; dolayısıyla çarpma ilkesi gereği diziliş sayıları çarpılır: \(\text{n} \times \text{n} \times \cdots \times \text{n}\) (r çarpan). Özel durumlar doğrudan bundan çıkar: \(r = 0\) olduğunda tam olarak bir diziliş vardır (boş diziliş), yani her n için \(\text{n}^{0} = 1\) olur; burada kullanılan \(0^{0} = 1\) kabulü de buna dâhildir. \(\text{n} = 0\) ve \(r > 0\) olduğunda yerleştirilecek öğe olmadığından sayı 0'dır.
Çözümlü örnek
\(\text{n} = 17\) ve r'nin 0'dan 20'ye değiştiği durumda tablo 1, 17, 289, 4.913, 83.521, ... şeklinde başlar ve r = 20'de \(17^{20} = 4{.}064{.}231{.}406{.}647{.}572{.}522{.}401{.}601\) ile, yani yaklaşık \(4{,}06 \times 10^{24}\) ile biter. Daha küçük bir doğrulama: \(\text{n} = 2\) ve r'nin 0'dan 4'e değiştiği durumda 1, 2, 4, 8, 16 elde edersiniz; bu da her uzunluktaki ikili dizilerin sayısına tam olarak eşittir.
Sıkça sorulan sorular
\(\text{n}^{0}\) neden 1'dir? Sıfır öğeyi dizmenin tam olarak bir yolu vardır: hiçbir şey seçmemek. Bu boş diziliş, formülü tutarlı kılar.
Bunun nPr'den farkı nedir? Sıradan permütasyonlar (\({}_{\text{n}}P_{r}\)) yeniden kullanıma izin vermez ve \(\frac{\text{n}!}{(\text{n}-r)!}\) sonucunu verir. Burada ise tekrara izin verildiğinden her konumun n seçeneği vardır ve sonuç \(\text{n}^{\,r}\) olur.
Büyük sayılar neden yuvarlanmış gösteriliyor? İçerideki hesaplama tam değerlidir, ancak çok büyük sonuçlar okunabilirlik için seçtiğiniz anlamlı basamak sayısına göre gösterilir.
