पुनरावृत्ति सहित क्रमचय क्या है?
पुनरावृत्ति सहित क्रमचय (जिसे प्रतिस्थापन सहित क्रमचय भी कहते हैं) उन क्रमबद्ध व्यवस्थाओं की गिनती करता है जिनमें n भिन्न वस्तुओं के समुच्चय में से r वस्तुएँ इस तरह चुनी जाती हैं कि हर वस्तु को जितनी बार चाहें दोहराया जा सके। चूँकि r में से हर एक स्थान को n वस्तुओं में से किसी से भी स्वतंत्र रूप से भरा जा सकता है, इसलिए कुल गिनती n को r बार आपस में गुणा करने के बराबर होती है, जिसे \({}_{\text{n}}\Pi_{r} = \text{n}^{\,r}\) के रूप में लिखा जाता है। यह सामान्य क्रमचय \({}_{\text{n}}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}\) से भिन्न है, क्योंकि उसमें पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं होती।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
सबसे पहले भिन्न वस्तुओं की संख्या n दर्ज करें, फिर r का प्रारंभिक मान और अंतिम मान चुनें। यह टूल उस संपूर्ण (समावेशी) सीमा में आने वाले हर पूर्णांक r के लिए एक पंक्ति बनाता है और प्रत्येक के लिए \(n^r\) का मान दिखाता है। चूँकि ये संख्याएँ बहुत तेज़ी से बढ़ती हैं, कैलकुलेटर भीतर ही भीतर सटीक बिग-इंटिजर गणित का उपयोग करता है और आपको यह चुनने देता है कि कितने सार्थक अंक दिखाने हैं (डिफ़ॉल्ट 18)। यदि आप प्रारंभिक मान को अंतिम मान से बड़ा दर्ज कर देते हैं, तो दोनों आपस में बदल दिए जाते हैं ताकि तालिका आरोही क्रम में ही पढ़ी जा सके।
सूत्र की व्याख्या
मूल नियम है $$ {}_{\text{n}}\Pi_{r} = \text{n}^{\,r}, \quad r = \text{r}_{\text{start}}, \dots, \text{r}_{\text{end}} $$ r में से हर स्थान n विकल्पों में से एक स्वतंत्र चयन होता है, इसलिए गुणन सिद्धांत के अनुसार व्यवस्थाएँ गुणा होती जाती हैं: \(n \times n \times \dots \times n\) (कुल r गुणक)। इससे कुछ विशेष स्थितियाँ सीधे निकलती हैं: जब r = 0 हो, तो ठीक एक ही व्यवस्था होती है (रिक्त व्यवस्था), इसलिए किसी भी n के लिए \(n^0 = 1\) होता है, और यहाँ \(0^0 = 1\) की परिपाटी अपनाई गई है। जब n = 0 और r > 0 हो, तो रखने के लिए कोई वस्तु ही नहीं होती, इसलिए गिनती 0 होती है।
हल किया गया उदाहरण
n = 17 और r के 0 से 20 तक के मानों के साथ, तालिका 1, 17, 289, 4,913, 83,521, ... से शुरू होती है और r = 20 पर $$ 17^{20} = 4{,}064{,}231{,}406{,}647{,}572{,}522{,}401{,}601 $$ पर समाप्त होती है, जो लगभग \(4.06 \times 10^{24}\) है। एक छोटी जाँच: n = 2 और r के 0 से 4 तक के मानों पर आपको 1, 2, 4, 8, 16 मिलते हैं — यानी प्रत्येक लंबाई की द्विआधारी (बाइनरी) स्ट्रिंग्स की ठीक-ठीक संख्या।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
\(n^0 = 1\) क्यों होता है? शून्य वस्तुओं को व्यवस्थित करने का ठीक एक ही तरीका है: कुछ भी न चुनना। यह रिक्त व्यवस्था सूत्र को संगत बनाए रखती है।
यह \({}_{\text{n}}P_{r}\) से कैसे अलग है? सामान्य क्रमचय \({}_{\text{n}}P_{r}\) में पुनः उपयोग की अनुमति नहीं होती, जिससे मान \(\frac{n!}{(n-r)!}\) आता है। यहाँ पुनरावृत्ति की अनुमति है, इसलिए हर स्थान पर पूरे n विकल्प मौजूद रहते हैं और उत्तर \(n^r\) होता है।
बड़ी संख्याएँ गोल करके क्यों दिखाई जाती हैं? भीतरी गणना तो पूरी तरह सटीक है, परंतु बहुत बड़े परिणामों को पढ़ने की सुविधा के लिए चुने गए सार्थक अंकों तक ही प्रदर्शित किया जाता है।
