क्रमचय nPr टेबल कैलकुलेटर क्या है?
यह टूल भिन्न (distinct) वस्तुओं की एक संख्या n लेता है और r के हर मान—0 से लेकर n तक—के लिए क्रमचय nPr की पूरी टेबल तैयार करता है। क्रमचय (permutation) यह गिनता है कि n वस्तुओं में से r वस्तुओं को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है, जब क्रम (order) मायने रखता हो। चूँकि परिणाम क्रमगुणित (factorial) की रफ़्तार से बढ़ते हैं, इसलिए यह कैलकुलेटर सटीक बिग-इंटिजर गणित का इस्तेमाल करता है—यानी \(30!\) जैसे बहुत बड़े मान भी पूरी तरह सटीक दिखते हैं। यह शुद्ध संयोजनिकी (combinatorics) है और हर जगह एक समान लागू होती है; यह किसी देश या क्षेत्र विशेष पर निर्भर नहीं है।
इसका उपयोग कैसे करें
वस्तुओं की संख्या n दर्ज करें (एक ग़ैर-ऋणात्मक पूर्णांक, डिफ़ॉल्ट 30) और सबमिट करें। कैलकुलेटर सभी वस्तुओं की कुल व्यवस्थाओं की संख्या (\({}_{n}P_{n} = n!\)) को मुख्य आँकड़े के रूप में दिखाता है, साथ ही एक पंक्ति-दर-पंक्ति टेबल भी देता है जिसमें r = 0, 1, 2, ..., n के लिए nPr सूचीबद्ध रहता है। हर पंक्ति को इस तरह पढ़ें: "n वस्तुओं में से r वस्तुओं को चुनने पर क्रमबद्ध व्यवस्थाओं की संख्या।"
फ़ॉर्मूला समझें
मूल फ़ॉर्मूला है $$ {}_{n}P_{r} = \frac{\text{n}!}{\left(\text{n} - r\right)!} $$ समान रूप से, nPr एक अवरोही क्रमगुणित (falling factorial) है: \(n \times (n-1) \times \ldots \times (n - r + 1)\), यानी ठीक r घटते हुए पदों का गुणनफल। विशेष स्थितियाँ: \({}_{n}P_{0} = 1\) (खाली व्यवस्था), \({}_{n}P_{1} = n\), और \({}_{n}P_{n} = n!\)। कैलकुलेटर टेबल को कुशलता से इस तरह बनाता है कि वह \(P = 1\) से शुरू करके हर चरण पर \((n - r + 1)\) से गुणा करता जाता है—इससे अलग-अलग विशाल क्रमगुणित निकालने की ज़रूरत ही नहीं पड़ती।
हल किया हुआ उदाहरण (n = 5)
1 से शुरू करके घटते हुए गुणा करते हैं: \({}_{5}P_{0} = 1\), \({}_{5}P_{1} = 5\), $$ {}_{5}P_{2} = 5 \times 4 = 20 $$ $$ {}_{5}P_{3} = 5 \times 4 \times 3 = 60 $$ \({}_{5}P_{4} = 120\), और \({}_{5}P_{5} = 120\)। ध्यान दें कि 5P4 और 5P5 बराबर हैं, क्योंकि आख़िरी गुणक 1 होता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
nP0 का मान 1 क्यों होता है? शून्य वस्तुओं को व्यवस्थित करने का ठीक एक ही तरीका है: खाली व्यवस्था।
अगर r, n से बड़ा हो तो क्या होगा? उपलब्ध वस्तुओं से ज़्यादा वस्तुएँ नहीं चुनी जा सकतीं, इसलिए \({}_{n}P_{r} = 0\); यही वजह है कि टेबल r = n पर रुक जाती है।
nPr और संयोजन nCr में क्या फ़र्क है? क्रमचय क्रमबद्ध व्यवस्थाओं को गिनते हैं, जबकि संयोजन क्रम की परवाह किए बिना चयन गिनते हैं। दोनों का संबंध है: \({}_{n}P_{r} = {}_{n}C_{r} \times r!\)।
