ما هي حاسبة جدول التباديل nPr؟
تأخذ هذه الأداة عدداً واحداً من العناصر المتمايزة، وهو n، ثم تُنتج جدولاً كاملاً للتباديل nPr لكل قيمة من قيم r ابتداءً من 0 وحتى n. يحسب التبديل عدد الطرق الممكنة لترتيب r من العناصر المختارة من أصل n عندما يكون الترتيب مهماً. ولأن النتائج تنمو بشكل عاملي سريع، تعتمد الحاسبة على عمليات حسابية دقيقة بأعداد صحيحة ضخمة، بحيث تُعرض حتى القيم الكبيرة جداً مثل \(30!\) بدقة تامة. هذه عمليات في علم التوافيق البحت تنطبق بالطريقة نفسها في كل مكان؛ فهي ليست مرتبطة ببلد أو منطقة معينة.
كيفية الاستخدام
أدخل عدد العناصر n (عدد صحيح غير سالب، والقيمة الافتراضية 30) ثم اضغط على زر الحساب. تُرجع الحاسبة العدد الإجمالي لترتيبات جميع العناصر (\({}_{n}P_{n} = n!\)) كرقم رئيسي بارز، إضافةً إلى جدول صفاً صفاً يسرد قيم nPr لكل r = 0، 1، 2، ...، n. اقرأ كل صف على أنه "عدد الترتيبات المرتبة عند اختيار r من بين العناصر الـ n".
شرح الصيغة
الصيغة الأساسية هي $${}_{n}P_{r} = \frac{n!}{(n - r)!}$$ وبشكل مكافئ، فإن nPr هو العاملي النازل \(n \times (n-1) \times \dots \times (n - r + 1)\)، أي حاصل ضرب r حداً تنازلياً بالضبط. حالات خاصة: \({}_{n}P_{0} = 1\) (الترتيب الفارغ)، و\({}_{n}P_{1} = n\)، و\({}_{n}P_{n} = n!\). تبني الحاسبة الجدول بكفاءة عبر البدء بالقيمة \(P = 1\) ثم الضرب في \((n - r + 1)\) عند كل خطوة، مما يتجنب الحاجة إلى حساب العواملي الضخمة بشكل منفصل.
مثال محلول (n = 5)
بدءاً من 1 والضرب تنازلياً: \({}_{5}P_{0} = 1\)، \({}_{5}P_{1} = 5\)، $${}_{5}P_{2} = 5 \times 4 = 20$$ $${}_{5}P_{3} = 5 \times 4 \times 3 = 60$$ \({}_{5}P_{4} = 120\)، و\({}_{5}P_{5} = 120\). لاحظ أن \({}_{5}P_{4}\) و\({}_{5}P_{5}\) متساويان لأن العامل الأخير هو 1.
الأسئلة الشائعة
لماذا تساوي nP0 القيمة 1؟ توجد طريقة واحدة فقط لترتيب صفر عنصر، وهي الترتيب الفارغ.
ماذا لو كانت r أكبر من n؟ لا يمكنك اختيار عدد من العناصر أكبر من المتاح، لذا تكون \({}_{n}P_{r} = 0\)؛ ولهذا السبب يتوقف الجدول عند r = n.
ما الفرق بين التباديل nPr والتوافيق nCr؟ تحسب التباديل الترتيبات المرتبة، بينما تحسب التوافيق الاختيارات غير المرتبة. وترتبطان بالعلاقة \({}_{n}P_{r} = {}_{n}C_{r} \times r!\).
