¿Qué es la calculadora de tabla de permutaciones nPr?
Esta herramienta parte de un único número de objetos distintos, \(n\), y elabora una tabla completa de permutaciones \({}_{n}P_{r}\) para cada valor de \(r\), desde 0 hasta \(n\). Una permutación cuenta de cuántas formas se pueden ordenar \(r\) objetos elegidos entre \(n\) cuando el orden importa. Como los resultados crecen de forma factorial, la calculadora trabaja con aritmética exacta de enteros grandes, de modo que incluso valores enormes como \(30!\) se muestran con total precisión. Se trata de combinatoria pura y se aplica igual en cualquier país; no depende de la región.
Cómo se usa
Introduce el número de objetos \(n\) (un número entero no negativo; por defecto 30) y pulsa calcular. La calculadora devuelve como dato principal el número total de ordenaciones de todos los objetos (\({}_{n}P_{n} = n!\)), además de una tabla fila por fila con \({}_{n}P_{r}\) para \(r = 0, 1, 2, ..., n\). Cada fila se lee como «el número de ordenaciones posibles al elegir \(r\) de los \(n\) objetos».
La fórmula explicada
La fórmula que la define es $$ {}_{n}P_{r} = \frac{n!}{\left(n - r\right)!} $$ De forma equivalente, \({}_{n}P_{r}\) es el factorial descendente \(n \times (n-1) \times ... \times (n - r + 1)\), un producto de exactamente \(r\) términos decrecientes. Casos especiales: \({}_{n}P_{0} = 1\) (la ordenación vacía), \({}_{n}P_{1} = n\) y \({}_{n}P_{n} = n!\). La calculadora construye la tabla de manera eficiente partiendo de \(P = 1\) y multiplicando por \((n - r + 1)\) en cada paso, lo que evita tener que calcular factoriales gigantescos por separado.
Ejemplo resuelto (n = 5)
Partiendo de 1 y multiplicando hacia abajo: \({}_{5}P_{0} = 1\), \({}_{5}P_{1} = 5\), $$ {}_{5}P_{2} = 5 \times 4 = 20 $$ $$ {}_{5}P_{3} = 5 \times 4 \times 3 = 60 $$ \({}_{5}P_{4} = 120\) y \({}_{5}P_{5} = 120\). Observa que \({}_{5}P_{4}\) y \({}_{5}P_{5}\) coinciden porque el último factor es 1.
Preguntas frecuentes
¿Por qué nP0 es igual a 1? Solo existe una manera de ordenar cero objetos: la ordenación vacía.
¿Qué ocurre si r es mayor que n? No puedes elegir más objetos de los que hay disponibles, así que \({}_{n}P_{r} = 0\); por eso la tabla se detiene en \(r = n\).
¿En qué se diferencia nPr de las combinaciones nCr? Las permutaciones cuentan ordenaciones donde el orden importa, mientras que las combinaciones cuentan selecciones sin tener en cuenta el orden. Se relacionan mediante \({}_{n}P_{r} = {}_{n}C_{r} \times r!\).
