順列（表）nPr 計算とは
このツールは、異なる n 個のものを 1 つ入力すると、r = 0 から n までのすべての値について順列 nPr の表を一覧で作成します。順列とは、n 個の中から r 個を選んで「並び順を区別して」並べる総数のことです。結果は階乗の勢いで急激に大きくなるため、本ツールでは多倍長整数による厳密計算を採用しており、30! のような非常に大きな値でも誤差なく正確に表示します。これは純粋な組合せ論の計算であり、国や地域に関係なくどこでも同じように使えます。
使い方
ものの個数 n（0 以上の整数。初期値は 30）を入力して計算を実行します。すべてのものを並べる順列の総数（\({}_{n}P_{n} = n!\)）が代表値として表示され、さらに r = 0, 1, 2, …, n について nPr を 1 行ずつ並べた表が得られます。各行は「n 個のうち r 個を選んで並べたときの並べ方の総数」を表しています。
公式の解説
順列を定義する公式は次のとおりです。
$$ {}_{n}P_{r} = \frac{n!}{(n - r)!} $$これは下降階乗 \(n \times (n-1) \times \dots \times (n - r + 1)\)、すなわち n から始めて 1 ずつ小さくしながら r 個分だけ掛け合わせた積に等しくなります。特殊なケースとして、\({}_{n}P_{0} = 1\)（何も並べない並べ方が 1 通り）、\({}_{n}P_{1} = n\)、\({}_{n}P_{n} = n!\) があります。本ツールでは P = 1 から始め、各ステップで \((n - r + 1)\) を掛けていく方法で効率よく表を作成しており、巨大な階乗を個別に計算する必要がありません。
計算例（n = 5）
1 から順に掛けていきます。\({}_{5}P_{0} = 1\)、\({}_{5}P_{1} = 5\)、\({}_{5}P_{2} = 5 \times 4 = 20\)、\({}_{5}P_{3} = 5 \times 4 \times 3 = 60\)、\({}_{5}P_{4} = 120\)、\({}_{5}P_{5} = 120\) となります。最後に掛ける数が 1 になるため、\({}_{5}P_{4}\) と \({}_{5}P_{5}\) が同じ値になる点に注意してください。
よくある質問
なぜ nP0 は 1 になるのですか？ 0 個のものを並べる方法は「何も並べない」という 1 通りだけだからです。
r が n より大きい場合はどうなりますか？ 用意されている数より多くを選ぶことはできないため \({}_{n}P_{r} = 0\) となります。そのため表は r = n で終わります。
順列 nPr と組合せ nCr の違いは？ 順列は並び順を区別した並べ方を数え、組合せは並び順を区別しない選び方を数えます。両者は \({}_{n}P_{r} = {}_{n}C_{r} \times r!\) という関係で結ばれています。
