Что такое калькулятор таблицы размещений nPr?
Инструмент берёт одно число различных объектов n и строит полную таблицу размещений nPr для каждого значения r — от 0 до n. Размещение показывает, сколькими способами можно расставить r объектов, выбранных из n, когда порядок имеет значение. Поскольку результаты растут факториально, калькулятор использует точную арифметику больших целых чисел, поэтому даже очень большие значения вроде \(30!\) отображаются абсолютно точно. Это чистая комбинаторика, которая работает одинаково в любой стране и не зависит от каких-либо региональных правил.
Как пользоваться
Введите число объектов n (целое неотрицательное число, по умолчанию 30) и нажмите кнопку расчёта. Калькулятор покажет главным числом общее количество размещений всех объектов (\({}_{n}P_{n} = n!\)), а также таблицу строка за строкой со значениями nPr для r = 0, 1, 2, …, n. Каждую строку читайте так: «количество упорядоченных размещений при выборе r объектов из n».
Разбор формулы
Основная формула выглядит так: $${}_{n}P_{r} = \frac{n!}{(n - r)!}$$ Это то же самое, что убывающий факториал \(n \times (n-1) \times \ldots \times (n - r + 1)\) — произведение ровно r последовательно убывающих множителей. Частные случаи: \({}_{n}P_{0} = 1\) (пустое размещение), \({}_{n}P_{1} = n\) и \({}_{n}P_{n} = n!\). Калькулятор строит таблицу экономично: начинает с \(P = 1\) и на каждом шаге умножает на \((n - r + 1)\), благодаря чему не нужно отдельно вычислять громоздкие факториалы.
Пример с разбором (n = 5)
Начинаем с 1 и последовательно умножаем: \({}_{5}P_{0} = 1\), \({}_{5}P_{1} = 5\), \({}_{5}P_{2} = 5 \times 4 = 20\), \({}_{5}P_{3} = 5 \times 4 \times 3 = 60\), \({}_{5}P_{4} = 120\) и \({}_{5}P_{5} = 120\). Обратите внимание: \({}_{5}P_{4}\) и \({}_{5}P_{5}\) равны, потому что последний множитель равен 1.
Частые вопросы
Почему nP0 равно 1? Существует ровно один способ расставить ноль объектов — это пустое размещение.
Что если r больше n? Нельзя выбрать больше объектов, чем есть в наличии, поэтому \({}_{n}P_{r} = 0\); именно поэтому таблица заканчивается на r = n.
Чем размещения nPr отличаются от сочетаний nCr? Размещения учитывают порядок, а сочетания считают неупорядоченные выборки. Они связаны формулой \({}_{n}P_{r} = {}_{n}C_{r} \times r!\).
