순열 nPr 표 계산기란?
이 계산기는 서로 다른 객체의 개수 n 하나만 입력하면, r이 0부터 n까지 변할 때의 순열 nPr 값을 모두 표로 정리해 줍니다. 순열이란 n개 중에서 r개를 골라 순서를 고려해 나열하는 경우의 수를 뜻합니다. 결과값이 팩토리얼 형태로 매우 빠르게 커지기 때문에, 이 도구는 정확한 큰 정수(big-integer) 연산을 사용해 30!처럼 거대한 값도 오차 없이 정밀하게 보여 줍니다. 순수한 조합론(경우의 수) 계산이므로 어느 나라에서나 결과가 동일하며, 특정 지역에만 적용되는 규칙은 없습니다.
사용 방법
객체의 개수 n(0 이상의 정수, 기본값 30)을 입력하고 계산을 실행하세요. 계산기는 먼저 모든 객체를 나열하는 전체 경우의 수(\({}_{n}P_{n} = n!\))를 대표 결과로 보여 주고, 이어서 r = 0, 1, 2, …, n에 대한 nPr 값을 한 줄씩 표로 나열합니다. 각 행은 "n개 중에서 r개를 골라 순서대로 배열하는 경우의 수"로 읽으면 됩니다.
공식 설명
순열의 기본 공식은 다음과 같습니다.
$$ {}_{n}P_{r} = \frac{n!}{(n - r)!} $$이는 곧 하강 계승(falling factorial), 즉 \( n \times (n-1) \times \ldots \times (n - r + 1) \)로, 정확히 r개의 항을 차례로 내려가며 곱한 값과 같습니다. 특수한 경우를 보면 \({}_{n}P_{0} = 1\)(아무것도 나열하지 않는 빈 배열), \({}_{n}P_{1} = n\), \({}_{n}P_{n} = n!\) 입니다. 계산기는 \(P = 1\)에서 시작해 각 단계마다 \((n - r + 1)\)을 곱해 나가는 방식으로 표를 효율적으로 만들기 때문에, 거대한 팩토리얼을 따로 계산할 필요가 없습니다.
풀이 예시 (n = 5)
1에서 시작해 차례로 곱해 내려가 보겠습니다.
$$ {}_{5}P_{0} = 1 $$ $$ {}_{5}P_{1} = 5 $$ $$ {}_{5}P_{2} = 5 \times 4 = 20 $$ $$ {}_{5}P_{3} = 5 \times 4 \times 3 = 60 $$ $$ {}_{5}P_{4} = 120 $$ $$ {}_{5}P_{5} = 120 $$마지막에 곱하는 항이 1이기 때문에 5P4와 5P5가 같은 값이 된다는 점에 주목하세요.
자주 묻는 질문
nP0은 왜 1인가요? 0개의 객체를 나열하는 방법은 "아무것도 배열하지 않는" 단 한 가지뿐이기 때문입니다.
r이 n보다 크면 어떻게 되나요? 가진 객체보다 더 많이 고를 수는 없으므로 \({}_{n}P_{r} = 0\)이 됩니다. 그래서 이 표는 r = n에서 멈춥니다.
순열 nPr과 조합 nCr은 어떻게 다른가요? 순열은 순서를 고려한 배열의 수를 세고, 조합은 순서를 무시한 선택의 수를 셉니다. 두 값은 \({}_{n}P_{r} = {}_{n}C_{r} \times r!\) 의 관계로 연결됩니다.
