¿Qué son las permutaciones con repetición?
Las permutaciones con repetición (también llamadas permutaciones con reemplazo) cuentan el número de arreglos ordenados de r elementos elegidos de un conjunto de n elementos distintos, cuando cada elemento puede reutilizarse tantas veces como quieras. Como cada una de las r posiciones puede ocuparse de forma independiente con cualquiera de los n elementos, el total es n multiplicado por sí mismo r veces, que se escribe como \({}_{\text{n}}\Pi_{r} = \text{n}^{\,r}\). Esto se diferencia de las permutaciones ordinarias \({}_{\text{n}}P_{r} = n!/(n-r)!\), que no admiten repetición.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el número de elementos distintos n y, a continuación, elige el valor inicial de r y el valor final de r. La herramienta genera una fila por cada entero r dentro de ese rango inclusivo y muestra \(n^r\) en cada caso. Como estos números crecen muy rápidamente, la calculadora trabaja internamente con aritmética exacta de enteros grandes y te permite decidir cuántas cifras significativas mostrar (18 por defecto). Si introduces un valor inicial mayor que el final, ambos se intercambian para que la tabla siga leyéndose en orden ascendente.
La fórmula explicada
La regla básica es $$ {}_{\text{n}}\Pi_{r} = \text{n}^{\,r}, \quad r = \text{r}_{\text{start}}, \dots, \text{r}_{\text{end}} $$ Cada una de las r posiciones es una elección independiente entre n opciones, así que, por el principio de multiplicación, los arreglos se multiplican: \(n \times n \times \dots \times n\) (r factores). De ahí se deducen directamente los casos especiales: cuando r = 0 existe exactamente un arreglo (el arreglo vacío), por lo que \(n^0 = 1\) para cualquier n, incluyendo el convenio \(0^0 = 1\) que se aplica aquí. Cuando n = 0 y r > 0, no hay elementos que colocar, así que el recuento es 0.
Ejemplo resuelto
Con n = 17 y r variando de 0 a 20, la tabla comienza con 1, 17, 289, 4.913, 83.521, … y termina en r = 20 con $$ 17^{20} = 4{.}064{.}231{.}406{.}647{.}572{.}522{.}401{.}601, $$ que equivale aproximadamente a \(4{,}06 \times 10^{24}\). Una comprobación más sencilla: con n = 2 y r de 0 a 4 obtienes 1, 2, 4, 8, 16, exactamente el número de cadenas binarias de cada longitud.
Preguntas frecuentes
¿Por qué \(n^0 = 1\)? Existe una única manera de ordenar cero elementos: no elegir ninguno. Ese arreglo vacío hace que la fórmula sea coherente.
¿En qué se diferencia de nPr? Las permutaciones ordinarias nPr no permiten la reutilización, lo que da \(n!/(n-r)!\). Aquí sí se permite la repetición, por lo que cada posición tiene las n opciones disponibles y el resultado es \(n^r\).
¿Por qué se muestran redondeados los números grandes? El cálculo interno es exacto, pero los resultados muy grandes se muestran con un número determinado de cifras significativas para facilitar su lectura.
