Qu'est-ce qu'une permutation avec répétition ?
Les permutations avec répétition (que l'on appelle aussi arrangements avec remise) comptent le nombre de dispositions ordonnées de r éléments choisis parmi un ensemble de n éléments distincts, lorsque chaque élément peut être réutilisé autant de fois que l'on veut. Comme chacune des r positions peut être occupée indépendamment par n'importe lequel des n éléments, le total revient à multiplier n par lui-même r fois, ce que l'on note \({}_{\text{n}}\Pi_{r} = \text{n}^{\,r}\). C'est bien différent des permutations classiques \({}_{\text{n}}P_{r} = n!/(n-r)!\), qui, elles, interdisent la répétition.
Comment utiliser ce calculateur
Indiquez le nombre d'éléments distincts n, puis choisissez la valeur de départ et la valeur de fin de r. L'outil crée une ligne pour chaque entier r compris dans cet intervalle (bornes incluses) et affiche \(n^{r}\) pour chacun. Comme ces nombres croissent extrêmement vite, le calculateur s'appuie en interne sur une arithmétique exacte en grands entiers et vous laisse régler le nombre de chiffres significatifs affichés (18 par défaut). Si vous saisissez une valeur de départ supérieure à la valeur de fin, elles sont automatiquement permutées afin que la table reste lue dans l'ordre croissant.
La formule expliquée
La règle de base est $$ {}_{\text{n}}\Pi_{r} = \text{n}^{\,r}, \quad r = \text{r}_{\text{start}}, \dots, \text{r}_{\text{end}} $$ Chacune des r positions correspond à un choix indépendant parmi n options : d'après le principe multiplicatif, les dispositions se multiplient donc, \(n \times n \times \dots \times n\) (r facteurs). Les cas particuliers en découlent directement : lorsque r = 0, il existe exactement une disposition (la disposition vide), si bien que \(n^{0} = 1\) pour tout n, y compris selon la convention \(0^{0} = 1\) retenue ici. Lorsque n = 0 et r > 0, il n'y a aucun élément à placer, et le compte vaut donc 0.
Exemple détaillé
Avec n = 17 et r variant de 0 à 20, la table commence par 1, 17, 289, 4 913, 83 521, … et se termine à r = 20 avec $$ 17^{20} = 4\,064\,231\,406\,647\,572\,522\,401\,601 $$ soit environ \(4{,}06 \times 10^{24}\). Une vérification plus simple : avec n = 2 et r de 0 à 4, on obtient 1, 2, 4, 8, 16, c'est-à-dire exactement le nombre de chaînes binaires de chaque longueur.
FAQ
Pourquoi \(n^{0} = 1\) ? Il n'existe qu'une seule manière de disposer zéro élément : ne rien choisir. Cette disposition vide rend la formule cohérente.
En quoi est-ce différent de \({}_{\text{n}}P_{r}\) ? Les permutations classiques \({}_{\text{n}}P_{r}\) n'autorisent pas la réutilisation, ce qui donne \(n!/(n-r)!\). Ici, la répétition est permise : chaque position dispose des n choix et le résultat est \(n^{r}\).
Pourquoi les grands nombres sont-ils affichés arrondis ? Le calcul interne est exact, mais les résultats très grands sont affichés avec un nombre de chiffres significatifs choisi, pour faciliter la lecture.
