क्रमचय कैलकुलेटर (Permutations Calculator)

गणना दर्ज करें

वस्तुओं की कुल संख्या (n):

व्यवस्थित करने वाली वस्तुओं की संख्या (r):

परिणाम

क्रमचयों की संख्या (nPr)

60

वस्तुओं की कुल संख्या (n)	5
व्यवस्थित करने वाली वस्तुओं की संख्या (r)	3

यह क्रमचय कैलकुलेटर क्या करता है

यह कैलकुलेटर किसी दिए गए सेट के लिए क्रमचय (permutations) की संख्या निकालता है — जिसे nPr या P(n, r) लिखा जाता है। क्रमचय यह गिनता है कि जब आप कुल n वस्तुओं में से r वस्तुएँ चुनते हैं, तो उन्हें कितनी क्रमबद्ध (ordered) व्यवस्थाओं में रखा जा सकता है। यहाँ क्रम मायने रखता है, इसलिए पहले A फिर B चुनना, B फिर A चुनने से अलग गिना जाता है। आपको बस दो पूर्ण संख्याएँ डालनी हैं और परिणाम तुरंत सामने आ जाता है।

दो इनपुट

• वस्तुओं की कुल संख्या (n): वह पूरा सेट जिसमें से आप चुन रहे हैं, उसका आकार।
• व्यवस्थित करने वाली वस्तुओं की संख्या (r): उनमें से आप कितनी वस्तुएँ चुनकर क्रम में रखते हैं।

दोनों मान ऋण-रहित (non-negative) पूर्ण संख्याएँ होनी चाहिए, और n का मान r से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए। यह कैलकुलेटर बड़े मान भी स्वीकार करता है — 1,00,000 तक — और arbitrary-precision अंकगणित (BigInteger) का उपयोग करता है, ताकि बहुत बड़े परिणाम भी बिना किसी राउंडिंग के बिल्कुल सटीक निकलें।

सूत्र

कैलकुलेटर मानक क्रमचय सूत्र लागू करता है:

$$P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}$$

यहाँ "!" का मतलब है क्रमगुणित (factorial) — यानी 1 से लेकर उस संख्या तक हर पूर्ण संख्या का गुणनफल। यह टूल \(n!\) और \((n - r)!\) को अलग-अलग निकालता है, फिर एक को दूसरे से भाग देकर क्रमबद्ध व्यवस्थाओं की सटीक संख्या देता है।

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क्रमचय n विभिन्न वस्तुओं में से चुनी गई r क्रमित जगहों को भरते हैं।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए आप जानना चाहते हैं कि 5 धावकों की दौड़ में 3 धावक पहले, दूसरे और तीसरे स्थान पर कितने तरीकों से आ सकते हैं। n = 5 और r = 3 डालें:

• \(5! = 120\)
• \((5 - 3)! = 2! = 2\)
• \(P(5, 3) = 120 / 2 =\) 60

यानी शीर्ष तीन स्थानों के लिए कुल 60 संभावित क्रमबद्ध परिणाम बनते हैं।

विकल्पों का एक वृक्ष: पहली जगह के लिए 3 विकल्प, फिर दूसरी के लिए 2, जिससे 6 क्रमित व्यवस्थाएँ बनती हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

क्रमचय (permutation) और संचय (combination) में क्या फ़र्क है?
क्रमचय में क्रम को गिना जाता है, जबकि संचय में क्रम को अनदेखा कर दिया जाता है। यह कैलकुलेटर क्रमचय सूत्र का उपयोग करता है, इसलिए एक ही वस्तुओं के अलग-अलग क्रमों को अलग-अलग परिणाम माना जाता है।

अगर r का मान n से बड़ा हो तो क्या होगा?
ऐसा करना मान्य नहीं है। कैलकुलेटर त्रुटि (error) दिखाता है, क्योंकि आपके पास जितनी वस्तुएँ हैं उससे ज़्यादा को व्यवस्थित नहीं किया जा सकता। आपको हमेशा \(n \geq r\) रखना होगा।

क्या मैं r के लिए 0 का उपयोग कर सकता हूँ?
हाँ। \(P(n, 0)\) हमेशा 1 के बराबर होता है, क्योंकि कुछ भी व्यवस्थित न करने का ठीक एक ही तरीका होता है — खाली व्यवस्था।