Máy Tính RREF là gì?
Công cụ này biến đổi mọi ma trận (tối đa 6 hàng và 6 cột) về Dạng Bậc Thang Rút Gọn Theo Hàng (RREF) bằng phép khử Gauss-Jordan. RREF là dạng chuẩn tắc duy nhất của một ma trận, giúp bạn dễ dàng giải hệ phương trình tuyến tính, tìm hạng, xác định biến chính (pivot) và biến tự do, cũng như kiểm tra tính độc lập tuyến tính. Máy tính còn cho biết hạng của ma trận, chính là số hàng khác không (số hàng có phần tử pivot) trong dạng RREF.
Cách Sử Dụng
Hãy chọn số hàng và số cột, sau đó nhập các phần tử của ma trận, mỗi hàng trên một dòng, các số cách nhau bằng dấu cách hoặc dấu phẩy. Với hệ phương trình dạng ma trận mở rộng [A | b], bạn chỉ cần đưa cột hằng số vào làm cột cuối cùng. Những ô bỏ trống sẽ được coi là bằng 0. Nhấn nút tính toán để xem ma trận đã rút gọn hoàn chỉnh cùng hạng của nó.
Giải Thích Phương Pháp
Phép khử Gauss-Jordan xử lý lần lượt các cột từ trái sang phải. Tại mỗi vị trí pivot, thuật toán tìm một hàng có phần tử khác không, hoán đổi hàng đó vào đúng chỗ, nhân hàng đó với một hệ số để pivot trở thành 1, rồi trừ đi các bội của hàng pivot khỏi tất cả những hàng còn lại sao cho phần còn lại của cột pivot bằng 0. Một ma trận đạt dạng RREF khi mỗi phần tử dẫn đầu bằng 1, là phần tử khác không duy nhất trong cột của nó, và nằm bên phải phần tử dẫn đầu của hàng phía trên.
$$\text{RREF}\left( A_{\,m \times n} \right) \;\xrightarrow{\text{Gauss-Jordan}}\; R$$$$\begin{gathered} \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} R_{r,\,j} &\to \frac{R_{r,\,j}}{R_{r,\,\text{lead}}} \quad (\text{normalize pivot to }1) \\ R_{k,\,j} &\to R_{k,\,j} - R_{k,\,\text{lead}}\, R_{r,\,j} \quad (k \neq r) \\ m &= \text{Rows}, \quad n = \text{Columns} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Ví Dụ Minh Họa
Xét ma trận \([[1, 2, 3], [4, 5, 6]]\). Lấy hàng 2 trừ đi 4 lần hàng 1, ta được \([[1, 2, 3], [0, -3, -6]]\). Nhân hàng 2 với \(-1/3\): \([[1, 2, 3], [0, 1, 2]]\). Lấy hàng 1 trừ đi 2 lần hàng 2: \([[1, 0, -1], [0, 1, 2]]\). Đây chính là dạng RREF, và hạng của ma trận bằng \(2\).
Câu Hỏi Thường Gặp
REF và RREF khác nhau như thế nào? Dạng bậc thang theo hàng (REF) chỉ yêu cầu các phần tử bên dưới mỗi pivot bằng 0, trong khi RREF còn yêu cầu thêm rằng mỗi phần tử dẫn đầu phải bằng 1 và mọi phần tử phía trên pivot cũng bằng 0, nhờ đó dạng này là duy nhất.
Làm sao để tìm hạng của ma trận? Hạng chính là số hàng khác không sau khi rút gọn, được hiển thị ngay đầu kết quả.
Tôi có thể giải hệ phương trình không? Hoàn toàn được. Bạn chỉ cần nhập ma trận mở rộng [A | b]; dạng RREF sẽ trực tiếp cho ra nghiệm, hoặc cho biết hệ vô nghiệm hay có biến tự do.
