ما هي حاسبة RREF؟
تحوّل هذه الحاسبة أي مصفوفة (حتى 6 صفوف في 6 أعمدة) إلى صورتها الدرجية الصفية المختزلة (RREF) عبر طريقة حذف جاوس-جوردان. وتُعد الصورة الدرجية الصفية المختزلة صيغة قياسية فريدة للمصفوفة تُسهّل حل الأنظمة الخطية وإيجاد الرتبة وتحديد المتغيرات المحورية والمتغيرات الحرة، إضافة إلى الحكم على الاستقلال الخطي. كما تعرض الأداة رتبة المصفوفة التي تساوي عدد الصفوف غير الصفرية (الصفوف المحورية) في الصورة المختزلة.
كيفية الاستخدام
حدّد عدد الصفوف والأعمدة، ثم أدخل عناصر المصفوفة بمعدل صف واحد في كل سطر، مع الفصل بين الأرقام بمسافات أو فواصل. وإذا كنت تتعامل مع نظام موسّع \([A \mid b]\)، فاكتفِ بإضافة عمود الثوابت بوصفه العمود الأخير. تُعامَل الخانات الفارغة أو المفقودة على أنها أصفار. اضغط على زر الحساب لتظهر لك المصفوفة المختزلة بالكامل مع رتبتها.
شرح الطريقة
تعالج طريقة جاوس-جوردان الأعمدة من اليسار إلى اليمين. ففي كل موضع محوري تبحث عن صف يحوي عنصرًا غير صفري وتبدّله إلى مكانه، ثم تقسم ذلك الصف ليصبح العنصر المحوري مساويًا للواحد، وبعدها تطرح مضاعفات الصف المحوري من بقية الصفوف حتى تصبح باقي عناصر العمود المحوري أصفارًا. وتكون المصفوفة في صورة RREF عندما يكون كل عنصر قيادي مساويًا للواحد، وهو العنصر غير الصفري الوحيد في عموده، ويقع إلى يمين العنصر القيادي في الصف الذي يعلوه.
$$\text{RREF}\left( A_{\,m \times n} \right) \;\xrightarrow{\text{Gauss-Jordan}}\; R$$ $$\begin{gathered} \text{RREF}\left( A_{\,m \times n} \right) \;\xrightarrow{\text{Gauss-Jordan}}\; R \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} R_{r,\,j} &\to \frac{R_{r,\,j}}{R_{r,\,\text{lead}}} \quad (\text{normalize pivot to }1) \\ R_{k,\,j} &\to R_{k,\,j} - R_{k,\,\text{lead}}\, R_{r,\,j} \quad (k \neq r) \\ m &= \text{Rows}, \quad n = \text{Columns} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
مثال محلول
لنأخذ المصفوفة \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}\). اطرح 4 أمثال الصف الأول من الصف الثاني فتحصل على \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \end{bmatrix}\). اضرب الصف الثاني في \(-\tfrac{1}{3}\) فينتج \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}\). ثم اطرح ضعف الصف الثاني من الصف الأول: \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}\). هذه هي الصورة الدرجية الصفية المختزلة، والرتبة تساوي \(2\).
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين REF وRREF؟ تكتفي الصورة الدرجية الصفية (REF) بوجود أصفار أسفل كل عنصر محوري، أما الصورة المختزلة (RREF) فتشترط فوق ذلك أن تكون العناصر القيادية مساوية للواحد وأن تكون الأصفار أعلى كل محور أيضًا، وهو ما يجعل الصورة فريدة لا تتكرر.
كيف أجد الرتبة؟ الرتبة هي عدد الصفوف غير الصفرية بعد الاختزال، وتظهر في أعلى النتيجة.
هل يمكنني حل نظام معادلات؟ نعم. أدخل المصفوفة الموسّعة \([A \mid b]\)؛ فتعطيك الصورة المختزلة الحل مباشرة، أو تبيّن ما إذا كان النظام متناقضًا أو يحتوي على متغيرات حرة.
