फैक्टोरियल क्या होता है?
किसी ग़ैर-ऋणात्मक पूर्णांक n का फैक्टोरियल, जिसे n! लिखा जाता है, 1 से लेकर n तक के सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल होता है। फैक्टोरियल गणित में हर जगह दिखाई देते हैं — ख़ासकर संयोजिकी (combinatorics), प्रायिकता, बीजगणित और कैलकुलस में — जहाँ ये बताते हैं कि किसी वस्तुओं को कितने तरीकों से क्रम में रखा या सजाया जा सकता है। यह कैलकुलेटर किसी भी ग़ैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए n! तुरंत निकाल देता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
इनपुट बॉक्स में एक पूर्ण संख्या n (शून्य या उससे बड़ी) डालें और कैलकुलेटर आपको n! लौटा देगा। चूँकि फैक्टोरियल बहुत तेज़ी से बढ़ते हैं, छोटे n के लिए मान सटीक पूर्णांक के रूप में मिलते हैं, जबकि बड़े इनपुट के लिए इन्हें मानक फ़्लोटिंग-पॉइंट परिशुद्धता में दिखाया जाता है। नतीजा बहुत जल्दी बहुत बड़ा हो जाता है: 13! ही 6 अरब से अधिक हो जाता है, और 170! किसी मानक डबल द्वारा दर्शाए जा सकने वाले सबसे बड़े मान के क़रीब होता है।
सूत्र की व्याख्या
मूल सूत्र इस प्रकार है:
$$\text{n}! = \prod_{i=1}^{\text{n}} i = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times \text{n}$$
एक ख़ास मामला है \(0! = 1\), जो इसलिए सही है क्योंकि किसी भी संख्या के बिना का गुणनफल (खाली गुणनफल / empty product) 1 परिभाषित किया जाता है। यह परिपाटी संयोजिकी के सूत्रों को संगत बनाए रखती है — उदाहरण के लिए, शून्य वस्तुओं को सजाने का ठीक एक ही तरीका होता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए आप 5! निकालना चाहते हैं। एक-एक कदम गुणा करें: \(1 \times 2 = 2\), फिर \(2 \times 3 = 6\), फिर \(6 \times 4 = 24\), और फिर \(24 \times 5 = 120\)। यानी $$5! = 120$$ इसका मतलब है कि 5 अलग-अलग वस्तुओं को एक पंक्ति में सजाने के 120 अलग-अलग तरीके होते हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
0! का मान 1 क्यों होता है? खाली गुणनफल की परिपाटी के कारण और इसलिए भी कि इससे क्रमचय (permutation) और संचय (combination) के सूत्र सभी मानों के लिए संगत रूप से काम करते हैं।
क्या मैं किसी ऋणात्मक या दशमलव संख्या का फैक्टोरियल निकाल सकता हूँ? इस टूल से नहीं। मानक फैक्टोरियल केवल ग़ैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के लिए परिभाषित होते हैं। गामा फलन (gamma function) फैक्टोरियल को अन्य संख्याओं तक विस्तारित करता है, लेकिन वह इस कैलकुलेटर के दायरे से बाहर है।
अधिकतम इनपुट की सीमा क्यों है? फैक्टोरियल इतनी तेज़ी से बढ़ते हैं कि 170! से ऊपर के मान मानक डबल-प्रिसीज़न अंकगणित में ओवरफ़्लो हो जाते हैं, इसलिए इनपुट को 170 तक सीमित रखा गया है।
