Qu'est-ce que le R² ?
Le R² (R-carré), également appelé coefficient de détermination, mesure dans quelle mesure les prédictions d'un modèle correspondent aux données observées. Il exprime la part de la variance de la variable dépendante expliquée par le modèle. Pour un modèle cohérent, le R² varie de 0 à 1 : une valeur de 1 signifie que les prédictions s'ajustent parfaitement aux données, tandis qu'une valeur de 0 indique que le modèle n'explique aucune variabilité et ne fait pas mieux que la simple prédiction de la moyenne. Des valeurs négatives peuvent apparaître lorsqu'un modèle s'ajuste moins bien qu'une droite horizontale passant par la moyenne.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez vos valeurs observées (les données réelles Y) et vos valeurs prédites (les sorties du modèle Ŷ) sous forme de listes séparées par des virgules. Les deux listes doivent être dans le même ordre et avoir la même longueur. Cliquez sur Calculer pour obtenir le R² ainsi que la somme des carrés des résidus (\(SS_{res}\)), la somme totale des carrés (\(SS_{tot}\)) et le nombre de points de données utilisés.
La formule expliquée
Le calculateur commence par déterminer la moyenne des valeurs observées. La somme totale des carrés correspond à la somme des écarts au carré entre chaque observation et cette moyenne : \(SS_{tot} = \sum (y_i - \bar{y})^2\). La somme des carrés des résidus est la somme des écarts au carré entre les valeurs observées et prédites : \(SS_{res} = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2\). Le R² vaut alors :
$$R^{2} = 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}}$$où
$$\left\{ \begin{aligned} SS_{res} &= \sum \left( \text{Y} - \hat{\text{Y}} \right)^{2} \\ SS_{tot} &= \sum \left( \text{Y} - \bar{\text{Y}} \right)^{2} \\ \bar{\text{Y}} &= \frac{1}{n}\sum \text{Y} \end{aligned} \right.$$Lorsque les résidus sont faibles par rapport à la variation totale, le rapport \(SS_{res}/SS_{tot}\) est proche de zéro et le R² tend vers 1.
Exemple concret
Supposons que les valeurs observées soient 3, −0,5, 2, 7 et que les valeurs prédites soient 2,5, 0,0, 2, 8. La moyenne des valeurs observées est :
$$\frac{3 - 0{,}5 + 2 + 7}{4} = 2{,}875$$$$SS_{res} = 0{,}5^2 + (-0{,}5)^2 + 0^2 + (-1)^2 = 0{,}25 + 0{,}25 + 0 + 1 = 1{,}5$$$$SS_{tot} = (0{,}125)^2 + (-3{,}375)^2 + (-0{,}875)^2 + (4{,}125)^2 \approx 0{,}015625 + 11{,}390625 + 0{,}765625 + 17{,}015625 = 29{,}1875$$$$R^2 = 1 - \frac{1{,}5}{29{,}1875} \approx 0{,}9486$$FAQ
Le R² peut-il être négatif ? Oui. Lorsque le modèle s'ajuste moins bien que la simple prédiction de la moyenne des données, \(SS_{res}\) dépasse \(SS_{tot}\) et le R² devient négatif.
Un R² élevé signifie-t-il un bon modèle ? Pas toujours. Un R² élevé indique un ajustement étroit à ces données précises, mais il peut résulter d'un surajustement (overfitting). Validez toujours votre modèle avec des données hors échantillon.
Quelle est la différence entre le R² et le R² ajusté ? Le R² ajusté pénalise l'ajout de variables explicatives qui n'améliorent pas le modèle, ce qui est utile en régression multiple. Ce calculateur fournit le R² non ajusté.
