R²(결정계수)란?
R²(결정계수, coefficient of determination)는 모델의 예측값이 실제 관측 데이터를 얼마나 잘 설명하는지를 나타내는 지표입니다. 종속변수의 분산 중에서 모델이 설명하는 비율을 의미하죠. 일반적인 모델에서 R²는 0에서 1 사이의 값을 가지며, 1이면 예측값이 데이터에 완벽하게 들어맞는다는 뜻이고, 0이면 모델이 변동성을 전혀 설명하지 못해 단순히 평균으로 예측하는 것과 다를 바 없다는 의미입니다. 모델이 평균을 나타내는 수평선보다도 못 맞출 때는 R²가 음수가 되기도 합니다.
계산기 사용 방법
관측값(실제 Y 데이터)과 예측값(모델이 출력한 Ŷ 값)을 각각 쉼표로 구분해 입력하세요. 두 목록은 같은 순서, 같은 개수로 맞춰야 합니다. 계산 버튼을 누르면 R²와 함께 잔차제곱합(SS_res), 총제곱합(SS_tot), 그리고 사용된 데이터 개수를 확인할 수 있습니다.
공식 풀이
계산기는 먼저 관측값의 평균을 구합니다. 총제곱합은 각 관측값과 그 평균의 차이를 제곱해 모두 더한 값입니다: \(SS_{tot} = \sum (y_i - \bar{y})^2\). 잔차제곱합은 관측값과 예측값의 차이를 제곱해 더한 값입니다: \(SS_{res} = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2\). 그리고 R²는 다음과 같이 계산됩니다.
$$R^{2} = 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}}$$잔차가 전체 변동에 비해 작을수록 \(SS_{res}/SS_{tot}\)는 0에 가까워지고, R²는 1에 가까워집니다.
예제로 살펴보기
관측값이 3, −0.5, 2, 7이고 예측값이 2.5, 0.0, 2, 8이라고 가정해 봅시다. 관측값의 평균은 \((3 - 0.5 + 2 + 7)/4 = 2.875\)입니다. \(SS_{res} = 0.5^2 + (-0.5)^2 + 0^2 + (-1)^2 = 0.25 + 0.25 + 0 + 1 = 1.5\). \(SS_{tot} = (0.125)^2 + (-3.375)^2 + (-0.875)^2 + (4.125)^2 \approx 0.015625 + 11.390625 + 0.765625 + 17.015625 = 29.1875\). 따라서 \(R^{2} = 1 - 1.5/29.1875 \approx 0.9486\)이 됩니다.
자주 묻는 질문
R²가 음수가 될 수도 있나요? 네. 모델이 단순히 데이터의 평균으로 예측하는 것보다도 적합도가 떨어질 때 \(SS_{res}\)가 \(SS_{tot}\)를 넘어서면서 R²가 음수가 됩니다.
R²가 높으면 좋은 모델인가요? 항상 그렇지는 않습니다. R²가 높다는 것은 해당 데이터에 잘 맞는다는 뜻이지만, 과적합(overfitting) 때문일 수도 있습니다. 반드시 학습에 쓰지 않은 별도 데이터로 검증해야 합니다.
R²와 조정된 R²(adjusted R²)의 차이는 무엇인가요? 조정된 R²는 모델 성능을 실제로 개선하지 못하는 변수를 추가했을 때 패널티를 부여하는 지표로, 다중회귀에서 유용합니다. 이 계산기는 조정하지 않은 일반 R²를 제공합니다.
