ما هو معامل التحديد R²؟
معامل التحديد (R²)، المعروف أيضًا باسم coefficient of determination، يقيس مدى توافق تنبؤات النموذج مع البيانات المرصودة فعليًا. وهو يعبّر عن نسبة التباين في المتغير التابع التي يفسّرها النموذج. تتراوح قيمة R² عادةً بين 0 و1 في النموذج المنطقي: فالقيمة 1 تعني أن التنبؤات تطابق البيانات تمامًا، بينما تعني القيمة 0 أن النموذج لا يفسّر أي قدر من التباين وأنه ليس أفضل من مجرد التنبؤ بالمتوسط. وقد تظهر قيم سالبة عندما تكون مطابقة النموذج أسوأ من رسم خط أفقي عند المتوسط.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل القيم المرصودة (بيانات Y الفعلية) والقيم المتوقعة (مخرجات النموذج Ŷ) في صورة قوائم مفصولة بفواصل. يجب أن تكون القائمتان بالترتيب نفسه ولهما الطول نفسه. اضغط على زر الحساب لتحصل على قيمة R² إلى جانب مجموع مربعات البواقي (\(SS_{res}\))، ومجموع المربعات الكلي (\(SS_{tot}\))، وعدد نقاط البيانات المستخدمة.
شرح المعادلة
تحسب الأداة أولًا متوسط القيم المرصودة. ثم يُحسب مجموع المربعات الكلي كمجموع مربعات الفروق بين كل قيمة مرصودة وذلك المتوسط:
$$SS_{tot} = \sum \left( y_i - \bar{y} \right)^{2}$$أما مجموع مربعات البواقي فهو مجموع مربعات الفروق بين القيم المرصودة والمتوقعة:
$$SS_{res} = \sum \left( y_i - \hat{y}_i \right)^{2}$$وعندها يكون
$$R^{2} = 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}}$$وحين تكون البواقي صغيرة مقارنةً بالتباين الكلي، يقترب الناتج \(SS_{res}/SS_{tot}\) من الصفر وتقترب قيمة R² من 1.
مثال محلول
لنفترض أن القيم المرصودة هي 3 و−0.5 و2 و7، وأن القيم المتوقعة هي 2.5 و0.0 و2 و8. متوسط القيم المرصودة هو
$$\frac{3 - 0.5 + 2 + 7}{4} = 2.875$$ومنه:
$$SS_{res} = 0.5^{2} + (-0.5)^{2} + 0^{2} + (-1)^{2} = 0.25 + 0.25 + 0 + 1 = 1.5$$وكذلك:
$$SS_{tot} = (0.125)^{2} + (-3.375)^{2} + (-0.875)^{2} + (4.125)^{2} \approx 0.015625 + 11.390625 + 0.765625 + 17.015625 = 29.1875$$وبالتالي:
$$R^{2} = 1 - \frac{1.5}{29.1875} \approx 0.9486$$الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن تكون قيمة R² سالبة؟ نعم. عندما تكون مطابقة النموذج أسوأ من مجرد التنبؤ بمتوسط البيانات، يتجاوز \(SS_{res}\) قيمة \(SS_{tot}\) وتصبح قيمة R² سالبة.
هل تعني قيمة R² المرتفعة أن النموذج جيد؟ ليس دائمًا. تشير القيمة المرتفعة إلى مطابقة وثيقة لهذه البيانات تحديدًا، لكنها قد تنجم عن الإفراط في المطابقة (overfitting). تحقق دائمًا من النموذج باستخدام بيانات خارج العينة.
ما الفرق بين R² وR² المعدّل (adjusted R²)؟ يفرض R² المعدّل عقوبة على إضافة متغيرات تنبؤية لا تحسّن النموذج فعليًا، وهو مفيد في الانحدار المتعدد. أما هذه الحاسبة فتعرض قيمة R² غير المعدّلة.
