R-Kare Nedir?
Belirleme katsayısı olarak da bilinen R-kare (R²), bir modelin tahminlerinin gözlemlenen verilerle ne kadar örtüştüğünü ölçer. Bağımlı değişkendeki varyansın model tarafından açıklanan oranını ifade eder. Anlamlı bir modelde R² değeri 0 ile 1 arasında değişir: 1 değeri tahminlerin veriye kusursuz uyduğu, 0 ise modelin değişkenliğin hiçbirini açıklamadığı ve ortalamayı tahmin etmekten daha iyi olmadığı anlamına gelir. Bir model, ortalamadaki yatay bir doğrudan daha kötü uyum sağladığında negatif değerler de ortaya çıkabilir.
Bu Hesaplama Aracı Nasıl Kullanılır?
Gözlemlenen değerlerinizi (gerçek Y verileri) ve tahmin edilen değerlerinizi (modelin çıktıları Ŷ) virgülle ayrılmış listeler halinde girin. İki listenin aynı sırada ve aynı uzunlukta olması gerekir. Hesapla düğmesine tıkladığınızda R² değerini, kalıntı kareler toplamını (\(SS_{res}\)), toplam kareler toplamını (\(SS_{tot}\)) ve kullanılan veri noktası sayısını elde edersiniz.
Formülün Açıklaması
Hesaplama aracı önce gözlemlenen değerlerin ortalamasını hesaplar. Toplam kareler toplamı, her gözlem ile bu ortalama arasındaki farkların karelerinin toplamıdır: $$SS_{tot} = \sum (y_i - \bar{y})^2$$ Kalıntı kareler toplamı ise gözlemlenen ve tahmin edilen değerler arasındaki farkların karelerinin toplamıdır: $$SS_{res} = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2$$ R² değeri bundan sonra $$R^2 = 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}}$$ şeklinde bulunur. Kalıntılar toplam değişkenliğe kıyasla küçük olduğunda \(SS_{res}/SS_{tot}\) sıfıra yaklaşır ve R² değeri 1'e yaklaşır.
Çözümlü Örnek
Gözlemlenen değerlerin 3, −0,5, 2, 7 ve tahmin edilen değerlerin 2,5, 0,0, 2, 8 olduğunu varsayalım. Gözlemlenen değerlerin ortalaması $$\frac{3 - 0{,}5 + 2 + 7}{4} = 2{,}875$$'tir. $$SS_{res} = 0{,}5^2 + (-0{,}5)^2 + 0^2 + (-1)^2 = 0{,}25 + 0{,}25 + 0 + 1 = 1{,}5$$ $$SS_{tot} = (0{,}125)^2 + (-3{,}375)^2 + (-0{,}875)^2 + (4{,}125)^2 \approx 0{,}015625 + 11{,}390625 + 0{,}765625 + 17{,}015625 = 29{,}1875$$ $$R^2 = 1 - \frac{1{,}5}{29{,}1875} \approx 0{,}9486$$
Sık Sorulan Sorular
R² negatif olabilir mi? Evet. Model, verilerin ortalamasını tahmin etmekten daha kötü bir uyum sağladığında \(SS_{res}\), \(SS_{tot}\) değerini aşar ve R² negatif olur.
Yüksek bir R² iyi bir model anlamına mı gelir? Her zaman değil. Yüksek bir R², bu veriye yakın bir uyumu gösterir ancak aşırı uyumdan (overfitting) kaynaklanabilir. Sonuçlarınızı her zaman örneklem dışı verilerle doğrulayın.
R² ile düzeltilmiş R² arasındaki fark nedir? Düzeltilmiş R², modeli iyileştirmeyen yordayıcı değişkenlerin eklenmesini cezalandırır; bu, çoklu regresyonda faydalıdır. Bu hesaplama aracı düzeltilmemiş R² değerini gösterir.
