이 도구가 하는 일
산점도 생성기는 짝지어진 관측값 목록을 시각적인 산점도와 완성된 요약 통계로 바꿔 줍니다. 각 점은 독립변수(x)와 종속변수(y)를 짝지은 값으로, 예를 들면 바깥 기온과 아이스크림 판매량 같은 관계를 나타냅니다. 그래프는 두 값이 함께 어떻게 변하는지 한눈에 보여 주고, 숫자는 그 관계를 정량적으로 알려 줍니다 — 피어슨 상관계수 \(r\), 결정계수 \(R^2\), 두 변수 각각의 평균과 표본 표준편차, 표본 공분산, 그리고 최소제곱 최적 회귀직선의 방정식까지 모두 제공합니다. 이 계산기는 특정 국가나 단위 체계에 얽매이지 않는 범용 통계 도구로, 측정된 어떤 두 변수 쌍에도 그대로 적용할 수 있습니다.
사용 방법
입력 칸에 한 줄에 하나씩 (x, y) 쌍을 입력하고, 두 숫자는 쉼표나 공백으로 구분하세요 — 예: 30, 60. 최소 2개 이상의 점을 넣어야 하며, 점이 많을수록 상관관계가 더 신뢰할 만합니다. 빈 줄이나 숫자가 아닌 줄은 자동으로 무시됩니다. 계산 버튼을 누르면 회귀직선이 점선으로 그려진 산점도와 함께 모든 기술통계를 정리한 표가 나타납니다.
공식 설명
먼저 평균을 구합니다: \(\text{meanX} = \frac{\sum x}{n}\), \(\text{meanY} = \frac{\sum y}{n}\). 그다음 평균에서의 편차를 결합합니다. 최적 회귀직선의 기울기는 \(a = \frac{\sum (dx \cdot dy)}{\sum dx^2}\)이고, 절편은 \(b = \text{meanY} - a \cdot \text{meanX}\)입니다. 피어슨 상관계수 \(r\)은 \(\sum (dx \cdot dy)\)을 \(\sqrt{\sum dx^2 \times \sum dy^2}\)으로 나눈 값이며, \(R^2\)은 단순히 \(r^2\)입니다.
$$r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \,\sum (y_i - \bar{y})^2}} \qquad \left(x_i, y_i\right) \in \text{Data Points}$$$$\begin{gathered} y = m\,x + b \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} m &= \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2} \\ b &= \bar{y} - m\,\bar{x} \\ (x_i, y_i) &\in \text{Data Points} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$분산, 표준편차, 공분산은 표본 기준(n−1)으로 계산합니다.
계산 예시
\(x = [22, 24, 26, 28, 30, 32, 34]\), \(y = [25, 30, 38, 45, 60, 70, 78]\)인 경우 \(n = 7\), \(\text{meanX} = 28\), \(\text{meanY} \approx 49.43\)입니다. \(\sum dx^2 = 112\), \(\sum (dx \cdot dy) = 522\)이므로 기울기 \(a = \frac{522}{112} \approx 4.661\), 절편 \(b \approx -81.07\)이 되어 직선은 \(y = 4.661x - 81.07\)입니다. 상관계수 \(r \approx 0.991\), \(R^2 \approx 0.983\)으로, 강한 양의 선형관계를 보입니다.
자주 묻는 질문
상관계수 \(r\)은 무엇을 뜻하나요? +1에 가까우면 강한 증가 추세의 선형관계, −1에 가까우면 강한 감소 추세, 0에 가까우면 선형관계가 거의 없음을 의미합니다.
x 값이 모두 똑같으면 어떻게 되나요? 그러면 x에 변동이 없어 기울기와 \(r\)을 정의할 수 없으며, 최적 "직선"은 수직선 \(x = \text{meanX}\)가 됩니다.
상관관계가 인과관계를 증명하나요? 아닙니다. \(r\)이 높다는 것은 두 변수가 함께 움직인다는 사실만 보여 줄 뿐입니다. 실제 원인은 제3의 요인(예: 기온이 커피와 아이스크림 판매를 동시에 끌어올리는 경우)일 수 있습니다.
