Qu'est-ce que le moment cinétique ?
Le moment cinétique (L) est l'équivalent en rotation de la quantité de mouvement. Il mesure l'importance du mouvement de rotation d'un objet et la difficulté à arrêter cette rotation. Pour un corps rigide tournant autour d'un axe fixe, le moment cinétique correspond au produit de son moment d'inertie (I) par sa vitesse angulaire (ω) : $$L = I \times \omega$$. Son unité dans le Système international est le kilogramme-mètre carré par seconde (kg·m²/s).
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez le moment d'inertie de l'objet en kg·m² et sa vitesse angulaire en radians par seconde (rad/s). Le calculateur multiplie ces deux valeurs pour obtenir le moment cinétique. Si votre vitesse angulaire est exprimée en tours par minute (tr/min), convertissez-la d'abord : \(\omega \text{ (rad/s)} = \text{tr/min} \times 2\pi / 60\).
La formule expliquée
Dans $$L = I \times \omega$$, le moment d'inertie I décrit la répartition de la masse par rapport à l'axe de rotation : plus I est élevé, plus la masse est éloignée de l'axe et plus il est difficile de modifier la rotation. La vitesse angulaire ω représente le rythme de rotation, en radians par seconde. Comme le moment cinétique se conserve en l'absence de couple extérieur, un ou une patineuse qui tourne accélère en ramenant ses bras le long du corps : en réduisant I, ω augmente afin que L reste constant.
Exemple concret
Un disque plein possède un moment d'inertie de 2 kg·m² et tourne à une vitesse angulaire de 5 rad/s. On a alors $$L = 2 \times 5 = 10 {\text{ kg}\cdot\text{m}}^2/\text{s}$$ Si la vitesse angulaire doublait pour atteindre 10 rad/s, le moment cinétique doublerait lui aussi, jusqu'à 20 kg·m²/s.
Moment d'inertie pour les formes courantes
Le moment d'inertie \(I\) dépend de la distribution de la masse par rapport à l'axe de rotation. Le tableau ci-dessous donne les formules standard pour les corps rigides idéalisés, où \(M\) est la masse totale, \(R\) est le rayon et \(L\) est la longueur. Chaque formule suppose l'axe indiqué.
| Corps | Axe | Moment d'inertie \(I\) |
|---|---|---|
| Sphère pleine | Par le centre (diamètre) | \(\tfrac{2}{5}MR^2\) |
| Sphère creuse (coquille mince) | Par le centre (diamètre) | \(\tfrac{2}{3}MR^2\) |
| Cylindre plein / disque | Axe central (selon la longueur) | \(\tfrac{1}{2}MR^2\) |
| Anneau mince / bague | Axe central (perpendiculaire au plan) | \(MR^2\) |
| Tige mince | Par le centre, perpendiculaire à la tige | \(\tfrac{1}{12}ML^2\) |
| Tige mince | Par une extrémité, perpendiculaire à la tige | \(\tfrac{1}{3}ML^2\) |
Par exemple, un disque plein avec \(M = 2\ \text{kg}\) et \(R = 0,3\ \text{m}\) a \(I = \tfrac{1}{2}(2)(0,3)^2 = \) 0,09 kg·m². Vous pouvez confirmer les valeurs spécifiques à la forme avec une calculatrice de moment d'inertie avant de calculer le moment cinétique.
Termes clés et variables
- Moment cinétique, \(L\)
- L'analogue rotationnel de la quantité de mouvement linéaire, défini comme \(L = I\omega\). Unité SI : kilogramme-mètre carré par seconde (kg·m²/s), équivalent à N·m·s. C'est un vecteur dirigé le long de l'axe de rotation.
- Moment d'inertie, \(I\)
- Une mesure de la façon dont la masse est distribuée autour de l'axe de rotation, quantifiant la résistance à l'accélération angulaire. Unité SI : kilogramme-mètre carré (kg·m²). Un \(I\) plus grand signifie qu'un couple plus important est nécessaire pour modifier la rotation.
- Vitesse angulaire, \(\omega\)
- Le taux de changement de la position angulaire. Unité SI : radians par seconde (rad/s). Liée à la vitesse de rotation par \(\omega = 2\pi f\) et \(\omega = \text{tr/min}\times 2\pi/60\).
- Couple, \(\tau\)
- L'équivalent rotationnel de la force. Il est égal au taux de changement dans le temps du moment cinétique, \(\tau = \dfrac{dL}{dt}\), et pour \(I\) constant se réduit à \(\tau = I\alpha\). Unité SI : newton-mètre (N·m).
- Conservation du moment cinétique
- Quand le couple externe net sur un système est nul, le moment cinétique total reste constant : \(I_1\omega_1 = I_2\omega_2\). C'est pourquoi un patineur en rotation accélère en ramenant les bras vers lui — \(I\) diminue, donc \(\omega\) augmente.
FAQ
Quelles unités dois-je utiliser ? Utilisez les kg·m² pour le moment d'inertie et les rad/s pour la vitesse angulaire afin d'obtenir un moment cinétique en kg·m²/s.
Comment convertir les tr/min en rad/s ? Multipliez la valeur en tr/min par 2π, puis divisez par 60. Par exemple : \(60 \text{ tr/min} = 60 \times 6{,}2832 / 60 = 6{,}283 \text{ rad/s}\).
Le moment cinétique est-il un vecteur ? Oui : il possède une direction le long de l'axe de rotation (donnée par la règle de la main droite). Mais pour un seul axe fixe, on travaille généralement avec sa norme, comme ici.
