Что такое момент импульса?
Момент импульса (L) — это вращательный аналог обычного (линейного) импульса. Он показывает, насколько интенсивно вращается тело и насколько трудно остановить это вращение. Для твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, момент импульса равен произведению момента инерции (I) на угловую скорость (ω): $$L = I \times \omega$$. В системе СИ он измеряется в килограмм-метрах в квадрате на секунду (кг·м²/с).
Как пользоваться калькулятором
Введите момент инерции тела в кг·м² и угловую скорость в радианах в секунду (рад/с). Калькулятор перемножит эти величины и выдаст момент импульса. Если угловая скорость задана в оборотах в минуту (об/мин), сначала переведите её: \(\omega \,(\text{рад/с}) = \text{об/мин} \times 2\pi / 60\).
Разбор формулы
В формуле $$L = I \times \omega$$ момент инерции I описывает, как масса распределена относительно оси вращения: чем больше I, тем дальше масса от оси и тем труднее изменить вращение. Угловая скорость ω — это быстрота вращения в радианах в секунду. Поскольку при отсутствии внешнего момента сил момент импульса сохраняется, фигурист на льду раскручивается быстрее, прижимая руки к телу (уменьшая I, он увеличивает ω, а L остаётся постоянным).
Пример расчёта
Сплошной диск имеет момент инерции 2 кг·м² и вращается с угловой скоростью 5 рад/с. Тогда $$L = 2 \times 5 = 10 \ {\text{кг}\cdot\text{м}}^2/\text{с}$$ Если бы угловая скорость удвоилась до 10 рад/с, момент импульса тоже удвоился бы — до 20 кг·м²/с.
Частые вопросы
Какие единицы использовать? Берите кг·м² для момента инерции и рад/с для угловой скорости — тогда момент импульса получится в кг·м²/с.
Как перевести об/мин в рад/с? Умножьте значение в об/мин на 2π и разделите на 60. Например: \(60 \text{ об/мин} = 60 \times 6{,}2832 / 60 = 6{,}283 \ \text{рад/с}\).
Момент импульса — это вектор? Да, он направлен вдоль оси вращения (направление задаётся правилом правой руки). Но при работе с одной неподвижной осью обычно используют его модуль (величину), как и здесь.
Момент инерции для стандартных форм
Момент инерции \(I\) зависит от распределения массы относительно оси вращения. В таблице ниже приведены стандартные формулы для идеализированных твёрдых тел, где \(M\) — общая масса, \(R\) — радиус и \(L\) — длина. Каждая формула предполагает указанную ось.
| Тело | Ось | Момент инерции \(I\) |
|---|---|---|
| Сплошная сфера | Через центр (диаметр) | \(\tfrac{2}{5}MR^2\) |
| Полая (тонкостенная) сфера | Через центр (диаметр) | \(\tfrac{2}{3}MR^2\) |
| Сплошной цилиндр / диск | Центральная ось (вдоль длины) | \(\tfrac{1}{2}MR^2\) |
| Тонкий обруч / кольцо | Центральная ось (перпендикулярно плоскости) | \(MR^2\) |
| Тонкий стержень | Через центр, перпендикулярно к стержню | \(\tfrac{1}{12}ML^2\) |
| Тонкий стержень | Через один конец, перпендикулярно к стержню | \(\tfrac{1}{3}ML^2\) |
Например, сплошной диск с \(M = 2\ \text{кг}\) и \(R = 0.3\ \text{м}\) имеет \(I = \tfrac{1}{2}(2)(0.3)^2 = \) 0.09 кг·м². Вы можете проверить значения для конкретной формы с помощью калькулятора момента инерции перед расчётом углового момента.
Основные термины и переменные
- Угловой момент, \(L\)
- Ротационный аналог линейного импульса, определяемый как \(L = I\omega\). Единица СИ: килограмм-метр-квадрат в секунду (кг·м²/с), эквивалентно Н·м·с. Это вектор, направленный вдоль оси вращения.
- Момент инерции, \(I\)
- Мера того, как масса распределена относительно оси вращения, количественно выражающая сопротивление угловому ускорению. Единица СИ: килограмм-метр-квадрат (кг·м²). Больший \(I\) означает, что требуется больший крутящий момент для изменения вращения.
- Угловая скорость, \(\omega\)
- Скорость изменения углового положения. Единица СИ: радиан в секунду (рад/с). Связана с частотой вращения соотношением \(\omega = 2\pi f\) и \(\omega = \text{об/мин}\times 2\pi/60\).
- Крутящий момент, \(\tau\)
- Ротационный эквивалент силы. Он равен временной производной углового момента, \(\tau = \dfrac{dL}{dt}\), и при постоянном \(I\) сводится к \(\tau = I\alpha\). Единица СИ: ньютон-метр (Н·м).
- Сохранение углового момента
- Когда суммарный внешний крутящий момент, действующий на систему, равен нулю, полный угловой момент остаётся постоянным: \(I_1\omega_1 = I_2\omega_2\). Именно поэтому вращающийся фигурист ускоряется, когда прижимает руки — \(I\) уменьшается, поэтому \(\omega\) увеличивается.
