倒数回归计算器（y = A + B/x）｜最小二乘拟合

输入计算

结果

拟合得到的倒数回归方程

y = 0.0 + (6.0)/x

模型：y = A + B/x

A（截距）	0.0
B（分子系数）	6.0
相关系数 r	1.0
实际使用的数据点数（n）	5

相关强度： strong correlation (|r| = 1).
拟合曲线上的点 (x, y)： 1.0,6.0; 1.1,5.455; 1.2,5.0; 1.3,4.615; 1.4,4.286; 1.5,4.0; 1.6,3.75; 1.7,3.529; 1.8,3.333; 1.9,3.158; 2.0,3.0; 2.1,2.857; 2.2,2.727; 2.3,2.609; 2.4,2.5; 2.5,2.4; 2.6,2.308; 2.7,2.222; 2.8,2.143; 2.9,2.069; 3.0,2.0; 3.1,1.935; 3.2,1.875; 3.3,1.818; 3.4,1.765; 3.5,1.714; 3.6,1.667; 3.7,1.622; 3.8,1.579; 3.9,1.538; 4.0,1.5; 4.1,1.463; 4.2,1.429; 4.3,1.395; 4.4,1.364; 4.5,1.333; 4.6,1.304; 4.7,1.277; 4.8,1.25; 4.9,1.224; 5.0,1.2

什么是倒数回归？

倒数回归（也叫反比回归）是把一组成对观测数据拟合到模型 y = A + B/x 的方法。当某个量随 1/x 成比例衰减时，这条曲线就是最自然的选择——例如：当 x 较小时响应值很高，而随着 x 不断增大，结果逐渐趋向一个恒定的基线 A。由于该模型在变换后的自变量 u = 1/x 上是线性的，因此可以用普通最小二乘法精确求解。这是一款通用的数学与统计工具，相关公式在世界各地都完全一致。

散点沿着一条先陡降后趋平、逼近水平渐近线的曲线分布 — 反比模型 y = A + B/x 在 x 较小时急剧弯曲，在 x 较大时趋于水平接近 A。

如何使用

请按 x, y 的格式输入数据，每行一个点（用逗号或空格分隔）。至少需要两个点，并且每个 x 都不能为零，因为模型中要用到 1/x。你可以设定结果显示的有效数字位数（仅影响显示格式，不影响内部计算）。计算器会返回截距 A、分子系数 B、1/x 与 y 之间的相关系数 r、代入完整数值后的方程式，以及一组采样得到的拟合曲线点，方便你与散点数据对照绘图。

公式详解

对每个点先计算 u_i = 1/x_i，然后对 y 关于 u 做一元线性回归。利用均值 uBar 和 yBar，构造 S_uu = Σu² − n·uBar²、S_uy = Σ(u·y) − n·uBar·yBar 以及 S_yy = Σy² − n·yBar²。则斜率为 B = S_uy/S_uu，截距为 A = yBar − B·uBar，相关系数为 r = S_uy / (√S_uu · √S_yy)。

示意图展示将 x 变换为 u = 1/x，把曲线转化为直线 — 代入 u = 1/x 可将反比模型化为一条直线，用普通最小二乘法拟合。

实例演算

设 x = [1, 2, 3, 4, 5]，y = [6, 3, 2, 1.5, 1.2]：uBar = 0.456667，yBar = 2.74，S_uu = 0.420889，S_uy = 2.525333，S_yy = 15.152。于是 B = 2.525333 / 0.420889 = 6.000，A = 2.74 − 6·0.456667 = 0.000，r = 2.525333 / (0.648759 · 3.892557) = 1.000。拟合结果恰好为 y = 6/x，是一个完美的反比关系。