Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula el volumen y la superficie exterior de un sólido de revolución generado al hacer girar un segmento circular (la porción de un círculo delimitada por una cuerda, a veces llamada figura de arco o sagita) alrededor de un eje paralelo a su cuerda. Puedes hacerlo girar 360 grados completos o cualquier ángulo parcial; cuando el barrido es parcial, el cuerpo queda truncado por dos caras planas con la forma del segmento. Es una herramienta puramente geométrica y de cálculo, que funciona igual en cualquier parte del mundo.
Cómo utilizarla
Introduce el radio del arco R, la altura del segmento h (la sagita, es decir, la distancia máxima entre la cuerda y el arco), la distancia d desde la cuerda hasta el eje de giro y el ángulo de barrido. Elige una unidad de longitud (mm, cm, m o pulgada) y una unidad de ángulo (grados o radianes). Los resultados se expresan en el cubo y el cuadrado de la unidad de longitud elegida, junto con la longitud de la cuerda.
La fórmula
Con un ángulo central \(\alpha = 2\cdot\arccos\!\left(\frac{R-h}{R}\right)\), el área del segmento es $$A = \tfrac{1}{2}R^2(\alpha - \sin\alpha),$$ la semicuerda vale \(a = \sqrt{h(2R-h)}\) y la cuerda \(c = 2a\). Según los teoremas de Pappus, el volumen es $$V = \theta\cdot R_c\cdot A,$$ donde \(R_c\) es la distancia desde el eje hasta el centroide del área del segmento, y la superficie lateral es $$S = \theta\cdot(R_{\text{arc}}\cdot L_{\text{arc}} + R_{\text{chord}}\cdot c).$$ Si el barrido es parcial, se añaden dos caras planas de área \(A\) cada una.
Ejemplo resuelto
Para \(R = 100\ \text{mm}\), \(h = 40\ \text{mm}\), \(d = 50\ \text{mm}\) y \(\theta = 360^\circ\): \(\alpha = 1{,}8546\ \text{rad}\), \(A = 4472{,}95\ \text{mm}^2\) y cuerda \(c = 160\ \text{mm}\). El volumen resulta de unos \(1{,}86\times10^{6}\ \text{mm}^3\) (\(\approx 1864\ \text{cm}^3\)) y la superficie de unos \(1{,}39\times10^{5}\ \text{mm}^2\).
Preguntas frecuentes
¿Qué es la sagita? Es la altura del segmento \(h\), la distancia perpendicular entre la cuerda y el punto más alto del arco. Debe cumplir \(0 < h \le 2R\).
¿Por qué un barrido parcial añade área? Al cortar el anillo en dos posiciones angulares quedan al descubierto dos caras planas, cada una igual al área del segmento \(A\), de modo que se suma \(2A\) a la superficie lateral.
¿Puede el eje pasar por la cuerda? Sí, basta con poner \(d = 0\). Un valor negativo de \(d\) sitúa el eje en el lado del arco; la distancia al centroide debe mantenerse positiva para que el cuerpo sea físicamente posible.
