Ce que fait ce calculateur
Cet outil calcule le volume et la surface extérieure d'un solide de révolution obtenu en faisant tourner un segment circulaire (la portion d'un disque délimitée par une corde, parfois appelée forme en arc ou flèche) autour d'un axe parallèle à sa corde. Vous pouvez effectuer une révolution complète de 360 degrés ou un angle partiel ; dans ce dernier cas, le solide est tronqué par deux faces planes en forme de segment. Il s'agit d'un outil purement géométrique et basé sur le calcul intégral, dont les résultats sont identiques partout dans le monde.
Comment l'utiliser
Saisissez le rayon de l'arc R, la hauteur du segment h (la flèche, soit la distance maximale entre la corde et l'arc), la distance d séparant la corde de l'axe de rotation, puis l'angle de balayage. Choisissez une unité de longueur (mm, cm, m ou pouce) et une unité d'angle (degrés ou radians). Les résultats sont exprimés dans le cube et le carré de l'unité de longueur retenue, accompagnés de la longueur de la corde.
La formule
Avec l'angle au centre \(\alpha = 2\cdot\arccos((R-h)/R)\), l'aire du segment vaut \(A = \tfrac12 R^2(\alpha - \sin\alpha)\), la demi-corde \(a = \sqrt{h(2R-h)}\) et la corde \(c = 2a\). D'après les théorèmes de Guldin (Pappus), le volume est $$V = \theta\cdot R_c\cdot A$$ où \(R_c\) est la distance de l'axe au centre de gravité de l'aire du segment, et la surface latérale vaut $$S = \theta\cdot(R_{\text{arc}}\cdot L_{\text{arc}} + R_{\text{corde}}\cdot c)$$ Pour un balayage partiel, on ajoute deux faces planes d'aire \(A\) chacune.
Exemple détaillé
Pour \(R = 100\ \text{mm}\), \(h = 40\ \text{mm}\), \(d = 50\ \text{mm}\) et \(\theta = 360^\circ\) : \(\alpha = 1{,}8546\ \text{rad}\), \(A = 4472{,}95\ \text{mm}^2\), corde \(c = 160\ \text{mm}\). On obtient un volume d'environ \(1{,}86\times10^{6}\ \text{mm}^3\) (\(\approx 1864\ \text{cm}^3\)) et une surface d'environ \(1{,}39\times10^{5}\ \text{mm}^2\).
Questions fréquentes
Qu'est-ce que la flèche (sagitta) ? C'est la hauteur du segment \(h\), soit la distance perpendiculaire entre la corde et le point le plus élevé de l'arc. Elle doit vérifier \(0 < h \le 2R\).
Pourquoi un balayage partiel ajoute-t-il de la surface ? Sectionner l'anneau à deux positions angulaires fait apparaître deux faces planes, chacune égale à l'aire du segment \(A\) ; on ajoute donc \(2A\) à la surface latérale.
L'axe peut-il passer par la corde ? Oui, posez \(d = 0\). Une valeur négative de \(d\) place l'axe du côté de l'arc ; la distance au centre de gravité doit rester positive pour que le solide soit physiquement réalisable.
