이 계산기의 기능
이 도구는 원형 분절(현으로 잘린 원의 일부 영역, 활꼴 또는 새지타 형태라고도 부릅니다)을 현과 평행한 축을 중심으로 회전시켜 만든 회전체의 부피와 외부 표면적을 계산합니다. 360도 전체 회전은 물론 임의의 부분 회전각도 설정할 수 있으며, 부분 회전인 경우 두 개의 평평한 분절 단면(캡)으로 절단된 입체가 만들어집니다. 순수한 기하·미적분 도구이므로 전 세계 어디서나 동일하게 작동합니다.
사용 방법
호의 반지름 \(R\), 분절 높이 \(h\)(새지타, 현에서 호까지의 최대 거리), 현에서 회전축까지의 거리 \(d\), 그리고 회전각을 입력하세요. 길이 단위(mm, cm, m, inch)와 각도 단위(도 또는 라디안)를 선택합니다. 결과는 선택한 길이 단위의 세제곱·제곱 값과 함께 현의 길이로 표시됩니다.
공식
중심각 \(\alpha = 2\cdot\arccos\!\left(\frac{R-h}{R}\right)\)일 때, 분절 면적은 다음과 같습니다.
$$A = \tfrac{1}{2}R^2(\alpha - \sin\alpha)$$반현 \(a = \sqrt{h(2R-h)}\), 현 \(c = 2a\) 입니다. 파푸스 정리에 따라 부피는 다음과 같으며,
$$V = \theta \cdot R_c \cdot A$$여기서 \(R_c\)는 축에서 분절 면적 중심까지의 거리입니다. 측면 표면적은 다음과 같습니다.
$$S = \theta \cdot (R_{\text{arc}} \cdot L_{\text{arc}} + R_{\text{chord}} \cdot c)$$부분 회전인 경우 면적이 각각 \(A\)인 두 개의 평평한 캡이 추가됩니다.
계산 예시
\(R = 100\ \text{mm}\), \(h = 40\ \text{mm}\), \(d = 50\ \text{mm}\), \(\theta = 360^\circ\)인 경우: \(\alpha = 1.8546\ \text{rad}\), \(A = 4472.95\ \text{mm}^2\), 현 \(c = 160\ \text{mm}\) 입니다. 부피는 약 \(1.86\times10^{6}\ \text{mm}^3\) (\(\approx 1864\ \text{cm}^3\)), 표면적은 약 \(1.39\times10^{5}\ \text{mm}^2\)가 됩니다.
자주 묻는 질문
새지타(sagitta)란 무엇인가요? 분절 높이 \(h\)를 말하며, 현에서 호의 가장 높은 지점까지의 수직 거리입니다. \(0 < h \le 2R\) 범위를 만족해야 합니다.
부분 회전을 하면 왜 면적이 늘어나나요? 고리 모양을 두 각도 위치에서 자르면 두 개의 평평한 단면이 노출되며, 각 단면의 면적이 분절 면적 \(A\)와 같으므로 측면 표면적에 \(2A\)가 더해집니다.
축이 현을 지나도 되나요? 네, \(d = 0\)으로 설정하면 됩니다. \(d\)가 음수이면 축이 호 쪽에 위치하게 되는데, 실제 입체가 성립하려면 면적 중심까지의 거리가 양수로 유지되어야 합니다.
