この計算ツールについて
このツールは、弓形（円を弦で切り取ってできる、弓のような形・矢高をもつ領域）を、その弦に平行な軸のまわりに回転させてできる回転体の体積と外側の表面積を求めます。回転角は360度の全回転だけでなく、任意の角度に設定でき、部分回転の場合は両端が2つの平らな弓形断面で切断された立体になります。国や地域を問わず使える、純粋な幾何・微積分の計算ツールです。
使い方
円弧の半径 \(R\)、弓形の高さ（矢高）\(h\)（弦から円弧までの最大距離）、弦から回転軸までの距離 \(d\)、そして回転角を入力してください。長さの単位（mm・cm・m・inch）と角度の単位（度・ラジアン）を選びます。結果は選んだ長さ単位の3乗・2乗で表示され、あわせて弦の長さも求められます。
計算式
中心角を \(\alpha = 2\arccos\!\left(\frac{R-h}{R}\right)\) とすると、弓形の面積は \(A = \tfrac{1}{2}R^2(\alpha - \sin\alpha)\)、半弦は \(a = \sqrt{h(2R-h)}\)、弦の長さは \(c = 2a\) となります。パップス・ギュルダンの定理により、体積は次式で表されます。
$$V = \theta \cdot R_c \cdot A$$ここで \(R_c\) は軸から弓形の図心までの距離です。側面積は次式で求まります。
$$S = \theta \cdot (R_{\text{arc}} \cdot L_{\text{arc}} + R_{\text{chord}} \cdot c)$$部分回転の場合は、面積 \(A\) の平らな断面が2つ加わります。
計算例
\(R = 100\ \text{mm}\)、\(h = 40\ \text{mm}\)、\(d = 50\ \text{mm}\)、\(\theta = 360^\circ\) の場合：\(\alpha = 1.8546\ \text{rad}\)、\(A = 4472.95\ \text{mm}^2\)、弦 \(c = 160\ \text{mm}\) となります。体積は約 \(1.86\times10^{6}\ \text{mm}^3\)（\(\approx 1864\ \text{cm}^3\)）、表面積は約 \(1.39\times10^{5}\ \text{mm}^2\) になります。
よくある質問
矢高（さや）とは何ですか？弓形の高さ \(h\) のことで、弦から円弧の最も高い点までの垂直距離を指します。\(0 < h \le 2R\) の範囲を満たす必要があります。
なぜ部分回転だと面積が増えるのですか？リング状の立体を2つの角度位置で切ると、平らな断面が2面現れます。各断面の面積は弓形の面積 \(A\) に等しいため、側面積に \(2A\) が加わります。
回転軸を弦の上に通すことはできますか？はい、\(d = 0\) と設定すれば可能です。\(d\) を負にすると軸は円弧側に移りますが、実在する立体となるためには図心までの距離が正の値である必要があります。
