垂心とは？
三角形の垂心とは、3本の垂線が1点で交わる場所のことです。垂線とは、ある頂点から対辺（必要なら延長した直線）に垂直に下ろした線を指します。2本の垂線さえあれば交点は一意に決まるため、この計算ツールでは2本の垂線の交点を求めることで垂心を算出します。垂心は三角形の内部（鋭角三角形）、頂点上（直角三角形）、あるいは外部（鈍角三角形）に位置することがあります。
使い方
3つの頂点A・B・Cそれぞれのx座標とy座標を入力します。「計算」を押すと、垂心の座標 \(H = (x, y)\) が表示されます。座標は負の数でも小数でも構いません。3点が一直線上に並ぶ場合は三角形にならないため、垂心は「定義なし」として表示されます。
公式の解説
頂点Aから引く垂線は辺BCに垂直で、辺BCの方向ベクトルは\((x_C - x_B,\ y_C - y_B)\)です。Aを通り辺に垂直な直線は、内積を使って $$(x_C - x_B)(x - x_A) + (y_C - y_B)(y - y_A) = 0$$ と表せます。同じ要領で頂点Bから引く垂線（辺ACに垂直）の式を立てると、2×2の連立一次方程式になり、これをクラメルの公式で解きます。傾きではなく内積の形を使うことで、辺が垂直なときの「ゼロ除算」を回避でき、どんな三角形でも正しく計算できます。
計算例
\(A(0, 0)\)、\(B(4, 0)\)、\(C(1, 3)\) で考えてみましょう。辺BCの方向ベクトルは\((-3, 3)\)なので、Aから引く垂線は \(-3x + 3y = 0\)、つまり \(y = x\) です。辺ACの方向ベクトルは\((1, 3)\)なので、Bから引く垂線は $$x + 3y = (1)(4) + (3)(0) = 4$$ となります。\(y = x\) を代入すると \(x + 3x = 4\)、\(x = 1\)、\(y = 1\)。よって垂心は \((1, 1)\) です。
よくある質問
垂心は三角形の外側に来ることもありますか？ はい。鈍角三角形の場合、垂心は三角形の外部に位置します。
直角三角形の垂心はどこにありますか？ ちょうど直角の頂点上にあります。
3点が一直線上に並んでいる場合はどうなりますか？ その場合は三角形にならず、垂線同士が平行になるため、垂心は定義されません。
