什麼是垂心？
三角形的垂心，是三條高相交於同一點的位置。所謂「高」，是指從某個頂點向對邊（必要時延長對邊）所畫出的垂線。由於任兩條高就足以確定這個交點，本計算器只需取其中兩條高相交，即可求出垂心。垂心可能落在三角形內部（銳角三角形）、剛好位於某個頂點上（直角三角形），也可能落在三角形外部（鈍角三角形）。
計算器使用方式
分別輸入三個頂點 A、B、C 的 x 與 y 座標，按下計算，就能得到垂心座標 H =（x, y）。座標可以是負數或小數。若三點共線，便無法構成三角形，此時垂心會顯示為「無定義」。
公式解析
從 A 點所作的高，與 BC 邊垂直，而 BC 邊的方向向量為\((x_C - x_B,\ y_C - y_B)\)。通過 A 點且垂直於某邊的直線，可用內積方程式表示為 $$(x_C - x_B)(x - x_A) + (y_C - y_B)(y - y_A) = 0.$$ 同理，寫出從 B 點所作的高（垂直於 AC 邊）的方程式，便構成一組 2×2 的線性方程式： $$\begin{cases} (C_x - B_x)\,x + (C_y - B_y)\,y = (C_x - B_x)A_x + (C_y - B_y)A_y \\ (C_x - A_x)\,x + (C_y - A_y)\,y = (C_x - A_x)B_x + (C_y - A_y)B_y \end{cases}$$ 其中 $$\left\{ \begin{aligned} A &= \left(\text{A}_x,\ \text{A}_y\right) \\ B &= \left(\text{B}_x,\ \text{B}_y\right) \\ C &= \left(\text{C}_x,\ \text{C}_y\right) \end{aligned} \right.$$ 再以克拉瑪公式（Cramer's rule）求解。採用內積形式而非斜率，可避免某邊呈鉛直線時發生除以零的情況，因此任何有效的三角形都能順利計算。
實例演算
設 \(A(0, 0)\)、\(B(4, 0)\)、\(C(1, 3)\)。BC 邊方向為\((-3,\ 3)\)，因此從 A 點所作的高為 \(-3x + 3y = 0\)，即 \(y = x\)。AC 邊方向為\((1,\ 3)\)，因此從 B 點所作的高為 $$x + 3y = (1)(4) + (3)(0) = 4.$$ 代入 \(y = x\) 可得 \(x + 3x = 4\)，解得 \(x = 1\)、\(y = 1\)。故垂心為\((1,\ 1)\)。
常見問題
垂心會落在三角形外面嗎？會——對於鈍角三角形，垂心會落在三角形之外。
直角三角形的垂心在哪裡？剛好就在直角所在的那個頂點上。
如果三點排成一直線會怎樣？此時無法構成三角形，三條高互相平行，垂心因而無定義。
