這個計算機的功能
本工具可從任兩條已知邊解出一個直角三角形。直角固定位於頂點 C,因此 c 邊永遠是斜邊(最長的一邊,與直角相對),而 a、b 兩邊則是互相垂直的直角邊。只要輸入兩個邊長,計算機就會算出未知邊、周長、半周長、面積、三條高,以及三個內角(以度為單位)。
使用方式
先選擇計算模式。若你已知兩條直角邊,請選已知 a 與 b;若你知道一條直角邊與斜邊,則選已知 a 與 c。接著輸入兩個邊長,可視需要選擇顯示單位(單位純粹是標示用途,只會標註結果,不會改變數值),並設定結果要四捨五入到幾位有效數字。所選單位會套用在所有長度結果上,面積則使用該單位的平方,角度一律以度數表示。
計算公式
未知邊由畢氏定理求得:已知兩條直角邊時,$$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$;已知一條直角邊與斜邊時,$$b = \sqrt{c^2 - a^2}$$。接著 \(P = a + b + c\),半周長 \(s = P/2\)。由於兩條直角邊互相垂直,面積可直接由 $$K = \tfrac{1}{2}\cdot a\cdot b$$ 求得。每條高等於面積的兩倍除以對應的邊:$$h_a = \frac{2K}{a}, \quad h_b = \frac{2K}{b}, \quad h_c = \frac{2K}{c}$$三個角分別為 \(A = \operatorname{atan2}(a, b)\)、\(B = \operatorname{atan2}(b, a)\)、\(C = 90^\circ\),因此 \(A + B + C = 180^\circ\)。
範例試算
當 \(a = 3\)、\(b = 4\) 時:$$c = \sqrt{9 + 16} = 5, \quad P = 12, \quad s = 6, \quad K = 6$$$$h_a = 4, \quad h_b = 3, \quad h_c = 2.4$$\(A \approx 36.87^\circ\),\(B \approx 53.13^\circ\),\(C = 90^\circ\)。這正是經典的 3-4-5 畢氏三元數。
常見問題
選擇單位會改變答案嗎?不會。所有邊都共用同一個單位,因此無論選哪種單位,數值都相同;單位只是附加的標示。
為什麼「已知 a 與 c」模式要求 c > a?斜邊必須是最長的一邊。若 \(c \le a\),則 \(c^2 - a^2\) 不會是正數,也就無法構成真實存在的三角形。
為什麼 ha 會等於 b?因為兩條直角邊互相垂直,所以落在某一條直角邊上的高,正好就是另一條直角邊。只有斜邊上的高 hc 是新的數值:$$h_c = \frac{ab}{c}$$