यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल किन्हीं दो ज्ञात भुजाओं से एक समकोण त्रिभुज को हल कर देता है। समकोण हमेशा शीर्ष C पर स्थिर रहता है, इसलिए भुजा c हमेशा कर्ण होती है (सबसे लंबी भुजा, जो समकोण के सामने होती है), जबकि भुजाएँ a और b दोनों लंबवत भुजाएँ (पाद) हैं। आपके दिए गए दो मानों से यह छूटी हुई भुजा, परिमाप, अर्ध-परिमाप, क्षेत्रफल, तीनों शीर्षलंब और तीनों अंदरूनी कोण (डिग्री में) निकाल देता है।
इसका उपयोग कैसे करें
पहले गणना का तरीका चुनें। यदि आपको दोनों पाद (legs) पता हैं तो a और b दिए हैं चुनें, और यदि एक पाद और कर्ण पता है तो a और c दिए हैं चुनें। दोनों भुजाओं की लंबाई दर्ज करें, चाहें तो प्रदर्शन के लिए एक इकाई चुनें (यह केवल दिखावटी है — यह आउटपुट पर लेबल लगाती है, संख्याएँ नहीं बदलती), और तय करें कि परिणाम को कितने सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करना है। यह इकाई हर लंबाई वाले आउटपुट पर लागू होती है, क्षेत्रफल उसी इकाई का वर्ग दिखाता है, और कोण हमेशा डिग्री में बताए जाते हैं।
सूत्र
छूटी हुई भुजा पाइथागोरस प्रमेय से मिलती है: दो पादों के साथ, $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$ एक पाद और कर्ण के साथ, $$b = \sqrt{c^2 - a^2}$$ इसके बाद \(P = a + b + c\) और \(s = P/2\)। चूँकि पाद आपस में लंबवत हैं, क्षेत्रफल सीधा $$K = \tfrac{1}{2}\cdot a\cdot b$$ होता है। प्रत्येक शीर्षलंब क्षेत्रफल के दोगुने को उस भुजा से भाग देने पर मिलता है जिस पर वह गिरता है: $$h_a = \frac{2K}{a}, \quad h_b = \frac{2K}{b}, \quad h_c = \frac{2K}{c}$$ कोण हैं \(A = \operatorname{atan2}(a, b)\), \(B = \operatorname{atan2}(b, a)\), और \(C = 90^\circ\), इसलिए \(A + B + C = 180^\circ\)।
हल किया गया उदाहरण
मान लें \(a = 3\) और \(b = 4\): तो $$c = \sqrt{9 + 16} = 5, \quad P = 12, \quad s = 6, \quad K = 6$$ $$h_a = 4, \quad h_b = 3, \quad h_c = 2.4$$ \(A \approx 36.87^\circ\), \(B \approx 53.13^\circ\), \(C = 90^\circ\)। यह प्रसिद्ध 3-4-5 पाइथागोरस त्रिक (triple) है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या इकाई बदलने से उत्तर बदल जाते हैं? नहीं। सभी भुजाओं की एक ही इकाई होती है, इसलिए चाहे कोई भी इकाई चुनें, संख्याएँ वही रहती हैं; इकाई केवल लेबल के रूप में जुड़ती है।
"a और c दिए हैं" मोड में \(c > a\) क्यों जरूरी है? कर्ण को सबसे लंबी भुजा होना ही चाहिए। यदि \(c \le a\) हो, तो \(c^2 - a^2\) धनात्मक नहीं होगा और कोई वास्तविक त्रिभुज नहीं बनेगा।
\(h_a\) भुजा b के बराबर क्यों होता है? क्योंकि दोनों पाद लंबवत हैं, इसलिए एक पाद पर डाला गया शीर्षलंब दूसरा पाद ही होता है। केवल \(h_c\), यानी कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब, एक नया मान देता है: $$h_c = \frac{ab}{c}$$
