Что такое осевой момент инерции?
Осевой момент инерции (в технической литературе его также называют моментом инерции сечения или вторым моментом площади) показывает, как материал сечения распределён относительно оси изгиба. Чем больше эта величина, тем жёстче сечение сопротивляется изгибу. Это чисто геометрическая характеристика (размерность — единица длины в четвёртой степени, здесь мм⁴), и она лежит в основе расчётов прогиба балок и изгибных напряжений. Калькулятор работает с двумя самыми распространёнными формами — сплошным прямоугольником и сплошным кругом — и выдаёт момент инерции относительно центральной (нейтральной) оси, а также момент сопротивления и радиус инерции.
Как пользоваться калькулятором
Выберите форму поперечного сечения. Для прямоугольника введите ширину \(b\) (параллельную оси изгиба) и высоту \(h\) (перпендикулярную ей). Для сплошного круга задайте диаметр \(d\). Нажмите «Рассчитать», чтобы получить момент инерции \(I\), площадь сечения \(A\), расстояние \(c\) до крайнего волокна, момент сопротивления \(S = I/c\) и радиус инерции \(r = \sqrt{I/A}\). Все размеры указывайте в миллиметрах — тогда момент инерции получится в мм⁴.
Разбор формулы
Для прямоугольника осевой момент инерции относительно горизонтальной центральной оси равен $$I = \frac{b \cdot h^{3}}{12}.$$ Обратите внимание: высота возводится в куб. Удвоение высоты балки увеличивает её изгибную жёсткость в восемь раз, тогда как удвоение ширины — лишь вдвое. Для сплошного круга $$I = \frac{\pi \cdot d^{4}}{64}$$ относительно любого диаметра, проходящего через центр. Момент сопротивления \(S = I/c\) (где \(c\) — расстояние до самого удалённого волокна) напрямую связывает изгибающий момент с максимальным напряжением по формуле \(\sigma = M/S\).
Пример расчёта
Возьмём прямоугольник шириной 50 мм и высотой 100 мм. $$I = \frac{50 \times 100^{3}}{12} = \frac{50 \times 1\,000\,000}{12} = \frac{50\,000\,000}{12} \approx 4\,166\,666{,}67 \text{ мм}^4.$$ Площадь равна \(50 \times 100 = 5000\) мм², \(c = 50\) мм, поэтому \(S = 4\,166\,666{,}67 / 50 \approx 83\,333{,}33\) мм³, а \(r = \sqrt{4\,166\,666{,}67 / 5000} \approx 28{,}87\) мм.
Частые вопросы
Это то же самое, что массовый момент инерции? Нет. Осевой момент инерции — величина геометрическая (длина⁴) и определяет изгибную жёсткость; массовый момент инерции (масса·длина²) описывает вращательную динамику.
Относительно какой оси ведётся расчёт? Значение берётся относительно центральной оси. Для прямоугольника это горизонтальная ось, проходящая через центр; для круга любой диаметр даёт одинаковый результат.
Можно ли использовать дюймы? Да — формулы не зависят от системы единиц. Если ввести значения в дюймах, момент инерции получится в дюймах⁴, а остальные величины — в соответствующих единицах.
