ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة الطاقة الحركية لبندول بسيط أثناء تأرجحه. فعندما يُطلَق البندول من حالة السكون عند الزاوية θ₀، يتحول جزء من طاقة وضعه التثاقلية إلى طاقة حركية كلما هبط نحو أسفل قوسه. وعند أي زاوية وسطية θ، تساوي الطاقة الحركية مقدار طاقة الوضع المفقودة منذ لحظة الإطلاق.
شرح المعادلة
يتغيّر ارتفاع الكرة (الثقل) عن نقطة إطلاقها بمقدار \( L \cdot (\cos\theta - \cos\theta_0) \)، حيث L هو طول البندول المقاس من نقطة التعليق حتى مركز الثقل. وبضرب هذا المقدار في الكتلة m وتسارع الجاذبية g نحصل على الطاقة المتحرّرة:
$$ KE = \text{m} \cdot \text{g} \cdot \text{L} \left( \cos\theta - \cos\theta_0 \right) $$عند زاوية الإطلاق (θ = θ₀) تكون الطاقة الحركية صفرًا، وتبلغ أقصى قيمة لها عند أخفض نقطة (θ = 0). كما تُرجع الحاسبة سرعة الثقل عبر العلاقة \( v = \sqrt{2 \cdot KE / m} \) إلى جانب المسافة الرأسية التي هبطها انطلاقًا من نقطة الإطلاق.
طريقة الاستخدام
أدخل كتلة الثقل بالكيلوغرام، وطول البندول بالأمتار، وزاوية الإطلاق θ₀ والزاوية الحالية θ بالدرجات، وقيمة الجاذبية (الافتراضية 9.81 م/ث²). تأكّد من أن قيمة θ أصغر من θ₀ — إذ لا يمكن للثقل أن يرتفع فوق نقطة انطلاقه دون طاقة إضافية.
مثال محلول
ثقل كتلته 0.5 كغ معلّق على خيط طوله 1 م، أُطلِق من زاوية 30° ووصل إلى أخفض نقطة (θ = 0). تكون الطاقة الحركية:
$$ 0.5 \times 9.81 \times 1 \times (\cos 0° - \cos 30°) = 0.5 \times 9.81 \times (1 - 0.8660) = 0.6573 \text{ جول} $$أما سرعته فهي:
$$ \sqrt{2 \times 0.6573 / 0.5} \approx 1.62 \text{ م/ث} $$
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن تكون θ أصغر من θ₀؟ لأن البندول يبدأ من حالة السكون عند الزاوية θ₀، فلا يمكنه إلا التأرجح نحو زوايا أصغر مكتسبًا طاقة حركية. وإذا كانت θ > θ₀ فإن المعادلة تعطي قيمة سالبة، نقوم بتثبيتها عند الصفر.
هل تنطبق على التأرجحات الصغيرة فقط؟ لا. معادلة الطاقة هذه دقيقة لأي سعة تأرجح، لأنها مشتقّة من مبدأ حفظ الطاقة وليست من تقريب الزوايا الصغيرة.
ما الوحدات المستخدمة؟ وحدات النظام الدولي (SI): الكيلوغرام، والمتر، والمتر لكل ثانية مربعة، فتكون الطاقة بالجول والسرعة بالمتر لكل ثانية.
