पेंडुलम की गतिज ऊर्जा कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

द्रव्यमान (kg)

लंबाई (m)

छोड़ने का कोण θ₀ (डिग्री)

वर्तमान कोण θ (डिग्री)

गुरुत्वाकर्षण g (m/s²)

परिणाम

गतिज ऊर्जा

0.6571

जूल (J)

इस कोण पर चाल	1.6213 m/s
छोड़ने के बिंदु से गिरी ऊँचाई	0.134 m

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल झूलते हुए सरल लोलक (पेंडुलम) की गतिज ऊर्जा की गणना करता है। जब किसी लोलक को कोण θ₀ पर स्थिर अवस्था से छोड़ा जाता है, तो वह अपने आर्क के सबसे निचले बिंदु की ओर गिरते समय गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा को गतिज ऊर्जा में बदलता है। किसी भी बीच के कोण θ पर, गतिज ऊर्जा छोड़े जाने के बाद से खोई गई स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है।

सूत्र को समझें

लोलक के गोले (बॉब) की ऊँचाई उसके छोड़े गए बिंदु के सापेक्ष \( L \cdot (\cos\theta - \cos\theta_0) \) से बदलती है, जहाँ L पिवट (कीलक) से लेकर बॉब तक नापी गई लोलक की लंबाई है। इसे द्रव्यमान m और गुरुत्वाकर्षण g से गुणा करने पर मुक्त हुई ऊर्जा मिलती है:

$$ KE = \text{m} \cdot \text{g} \cdot \text{L} \left( \cos\theta - \cos\theta_0 \right) $$

छोड़े जाने वाले कोण पर (θ = θ₀) गतिज ऊर्जा शून्य होती है। यह सबसे निचले बिंदु (θ = 0) पर अधिकतम तक पहुँचती है। यह कैलकुलेटर \( v = \sqrt{2 \cdot KE / m} \) के ज़रिए बॉब की चाल और छोड़े गए स्थान से नीचे गिरी ऊर्ध्वाधर ऊँचाई भी बताता है।

लोलक अपने मुक्ति कोण θ₀ से वर्तमान कोण θ तक झूलता है और नीचे आते समय गतिज ऊर्जा प्राप्त करता है।

इसका उपयोग कैसे करें

बॉब का द्रव्यमान किलोग्राम में, लोलक की लंबाई मीटर में, छोड़े जाने वाला कोण θ₀ और वर्तमान कोण θ डिग्री में, और गुरुत्वाकर्षण (डिफ़ॉल्ट 9.81 m/s²) दर्ज करें। ध्यान रखें कि θ का मान θ₀ से छोटा हो — बॉब बिना अतिरिक्त ऊर्जा के अपने शुरुआती बिंदु से ऊपर नहीं उठ सकता।

हल किया गया उदाहरण

1 मीटर की डोरी पर लटका 0.5 किग्रा का बॉब 30° से छोड़ा जाता है और सबसे निचले बिंदु (θ = 0) तक पहुँचता है। गतिज ऊर्जा होगी $$ 0.5 \times 9.81 \times 1 \times (\cos 0° - \cos 30°) = 0.5 \times 9.81 \times (1 - 0.8660) = 0.6573 \text{ J} $$ इसकी चाल होगी \( \sqrt{2 \times 0.6573 / 0.5} \approx 1.62 \text{ m/s} \)।

जैसे-जैसे गोलक नीचे आता है, स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में बदलती है, सबसे निचले बिंदु पर अधिकतम गतिज ऊर्जा होती है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

θ का मान θ₀ से कम क्यों होना चाहिए? क्योंकि लोलक θ₀ पर स्थिर अवस्था से शुरू होता है; वह केवल छोटे कोणों की ओर ही झूल सकता है और गतिज ऊर्जा हासिल करता है। यदि θ > θ₀ हो, तो सूत्र ऋणात्मक मान देता है, जिसे हम शून्य पर सीमित (क्लैंप) कर देते हैं।

क्या यह सिर्फ़ छोटे झूलों के लिए है? नहीं। यह ऊर्जा सूत्र किसी भी झूलने वाले आयाम के लिए सटीक है, क्योंकि यह ऊर्जा संरक्षण के नियम से आता है, न कि छोटे-कोण के सन्निकटन (small-angle approximation) से।

किन इकाइयों का उपयोग होता है? SI इकाइयाँ: किलोग्राम, मीटर, m/s² — जिससे ऊर्जा जूल में और चाल मीटर प्रति सेकंड में मिलती है।