이 계산기로 할 수 있는 일
이 도구는 흔들리는 단진자(simple pendulum)의 운동에너지를 계산합니다. 각도 θ₀에서 정지 상태로 놓인 진자는 호의 가장 아래쪽으로 떨어지면서 중력 위치에너지를 운동에너지로 바꿉니다. 중간의 임의 각도 θ에서 운동에너지는 놓은 이후 잃어버린 위치에너지와 같습니다.
공식 풀이
추(bob)가 놓은 위치보다 높아진 높이는 \(L \cdot (\cos\theta - \cos\theta_0)\)만큼 변합니다. 여기서 \(L\)은 회전축(피벗)에서 추까지 측정한 진자의 길이입니다. 여기에 질량 \(m\)과 중력가속도 \(g\)를 곱하면 방출된 에너지를 얻습니다.
$$KE = m \cdot g \cdot L \cdot (\cos\theta - \cos\theta_0)$$
놓은 각도(\(\theta = \theta_0\))에서는 운동에너지가 0입니다. 가장 낮은 지점(\(\theta = 0\))에서 최댓값에 도달합니다. 계산기는 \(v = \sqrt{2 \cdot KE/m}\) 공식으로 추의 속력도 함께 구하고, 놓은 위치에서 떨어진 수직 낙하 높이도 보여 줍니다.
사용 방법
추의 질량을 킬로그램(kg)으로, 진자의 길이를 미터(m)로, 놓은 각도 θ₀과 현재 각도 θ를 도(°) 단위로, 그리고 중력가속도 g(기본값 9.81 m/s²)를 입력하세요. θ는 반드시 θ₀보다 작아야 합니다. 추는 외부에서 에너지를 더해 주지 않는 한 출발한 높이보다 위로 올라갈 수 없기 때문입니다.
계산 예시
1 m 길이의 줄에 매달린 0.5 kg 추를 30°에서 놓아 가장 아래(θ = 0)에 도달한다고 합시다. 운동에너지는 $$0.5 \times 9.81 \times 1 \times (\cos 0° - \cos 30°) = 0.5 \times 9.81 \times (1 - 0.8660) = 0.6573 \text{ J}$$입니다. 속력은 \(\sqrt{2 \times 0.6573 / 0.5} \approx 1.62 \text{ m/s}\)가 됩니다.
자주 묻는 질문
왜 θ가 θ₀보다 작아야 하나요? 진자는 θ₀에서 정지 상태로 출발하기 때문입니다. 따라서 더 작은 각도 쪽으로만 흔들리며 운동에너지를 얻을 수 있습니다. 만약 \(\theta > \theta_0\)이면 공식은 음수 값을 내놓는데, 이 경우 계산기는 값을 0으로 처리합니다.
작은 진폭에서만 쓸 수 있나요? 아닙니다. 이 에너지 공식은 작은 각도 근사가 아니라 에너지 보존 법칙에서 유도되므로 어떤 진폭에서도 정확합니다.
어떤 단위를 사용하나요? SI 단위입니다. 킬로그램, 미터, m/s²를 사용하며, 에너지는 줄(J)로, 속력은 초당 미터(m/s)로 나타냅니다.
