Qué hace esta herramienta
Este generador crea una lista de números pseudoaleatorios que siguen una distribución Gamma con un parámetro de forma a y un parámetro de escala b a tu elección. La distribución Gamma es continua y estrictamente positiva, y se utiliza ampliamente en ingeniería de fiabilidad, teoría de colas, estadística bayesiana (como prior conjugada), modelado de precipitaciones y seguros, y en cualquier contexto donde aparezcan tiempos de espera o magnitudes positivas con asimetría. Es una herramienta matemática universal, sin vínculo con ningún país en concreto.
Cómo usarla
Introduce el parámetro de forma a (debe ser mayor que 0), el parámetro de escala b (también mayor que 0) y cuántos valores quieres obtener (de 1 a 1000). Elige cuántas cifras significativas mostrar. Pulsa calcular para obtener una lista ordenada de muestras junto con la media y la varianza muestrales, presentadas al lado de la media y la varianza teóricas para que puedas verificar de un vistazo que el resultado tiene sentido.
La fórmula
La densidad es $$f(x; a, b) = \frac{1}{\Gamma(a)\cdot b}\cdot\left(\frac{x}{b}\right)^{a-1}\cdot e^{-x/b}, \quad x > 0,$$ donde \(\Gamma(a)\) es la función gamma. En esta parametrización por escala, la media es \(a\cdot b\) y la varianza es \(a\cdot b^2\). Ten en cuenta que \(b\) es una escala, no una tasa; si otra librería usa la tasa \(\lambda = 1/b\), establece \(b = 1/\lambda\). El muestreo emplea el método de squeeze de Marsaglia-Tsang para \(a \ge 1\), con un ajuste mediante potencia de una uniforme cuando \(a < 1\). Cada muestra de escala unitaria se multiplica por \(b\) para aplicar la escala.
Ejemplo resuelto
Con \(a = 3\), \(b = 1\) y un total de 10 valores, cada resultado es una muestra de \(\text{Gamma}(3,1)\). La media teórica es \(a\cdot b = 3\) y la varianza teórica es \(a\cdot b^2 = 3\) (desviación típica \(\approx 1{,}732\)). Un conjunto de muestras plausible promediaría cerca de 3, con una dispersión en torno a 1,7. Si cambias a \(a = 2\), \(b = 5\) obtendrás una media de 10 y una varianza de 50; los valores siguen siendo siempre positivos.
Preguntas frecuentes
¿Por qué cambian los números cada vez? El resultado es aleatorio, así que, salvo que se fije una semilla, los valores varían en cada ejecución. La media y la varianza muestrales deberían mantenerse próximas a los valores teóricos.
¿Qué ocurre si a = 1? \(\text{Gamma}(1, b)\) es la distribución Exponencial con media \(b\). Los valores enteros de \(a\) dan lugar a la distribución de Erlang.
¿b es una tasa o una escala? Es una escala. La media equivale a \(a\cdot b\), por lo que un valor mayor de \(b\) estira la distribución hacia valores más grandes.
