यह टूल क्या करता है
यह जनरेटर ऐसी छद्म-याद␣यादृच्छिक (pseudo-random) संख्याओं की सूची बनाता है जो चुने गए शेप पैरामीटर a और स्केल पैरामीटर b वाले गामा वितरण का अनुसरण करती हैं। गामा वितरण एक सतत और हमेशा धनात्मक (positive) वितरण है, जिसका उपयोग विश्वसनीयता इंजीनियरिंग (reliability engineering), क्यूइंग सिद्धांत, बेज़ियन सांख्यिकी (संयुग्मी पूर्व या conjugate prior के रूप में), वर्षा और बीमा मॉडलिंग, और जहाँ भी प्रतीक्षा समय या धनात्मक विषम मात्राएँ आती हैं, वहाँ व्यापक रूप से किया जाता है। यह एक सार्वभौमिक गणितीय उपकरण है और किसी भी देश विशेष से बँधा हुआ नहीं है।
इसका उपयोग कैसे करें
शेप पैरामीटर a (0 से बड़ा होना चाहिए), स्केल प␣पैरामीटर b (0 से बड़ा होना चाहिए), और आपको कितने मान चाहिए (1 से 1000 तक) दर्ज करें। चुनें कि कितने सार्थक अंक (significant digits) दिखाए जाएँ। "गणना करें" दबाते ही आपको मानों की एक क्रमबद्ध सूची मिलेगी, साथ ही नमूना माध्य और प्रसरण भी — जिन्हें सैद्धांतिक माध्य और प्रसरण के साथ दिखाया जाता है ताकि आप परिणाम की जाँच आसानी से कर सकें।
सूत्र
घनत्व फलन (density) है $$f(x; a, b) = \frac{1}{\Gamma(a)\cdot b} \cdot \left(\frac{x}{b}\right)^{a-1} \cdot e^{-x/b}$$ जहाँ \(x > 0\) हो, और \(\Gamma(a)\) गामा फलन है। इस स्केल पैरामीटराइज़ेशन में माध्य \(a\cdot b\) होता है और प्रसरण \(a\cdot b^2\) होता है। ध्यान रहे कि \(b\) एक स्केल है, न कि दर (rate); यदि कोई अन्य लाइब्रेरी दर \(\lambda = 1/b\) का उपयोग करती है, तो \(b = 1/\lambda\) रखें। नमूना लेने के लिए \(a \ge 1\) हेतु Marsaglia-Tsang स्क्वीज़ विधि का उपयोग होता है, और \(a < 1\) के लिए power-of-uniform बूस्ट लगाया जाता है। प्रत्येक यूनिट-स्केल मान को \(b\) से गुणा करके स्केल लागू किया जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(a = 3\), \(b = 1\), \(\text{count} = 10\) — तो हर मान एक \(\text{Gamma}(3,1)\) नमूना होगा। सैद्धांतिक माध्य \(a\cdot b = 3\) है और सैद्धांतिक प्रसरण \(a\cdot b^2 = 3\) है (मानक विचलन \(\approx 1.732\))। एक संभावित नमूना समूह का औसत लगभग 3 के आसपास और फैलाव करीब 1.7 हो सकता है। अब इसे बदलकर \(a = 2\), \(b = 5\) करने पर माध्य 10 और प्रसरण 50 हो जाता है; मान फिर भी हमेशा धनात्मक रहते हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
हर बार संख्याएँ क्यों बदल जाती हैं? परिणाम यादृच्छिक होता है, इसलिए जब तक कोई निश्चित सीड (seed) इस्तेमाल न हो, हर बार मान अलग आएँगे। नमूना माध्य और प्रसरण सैद्धांतिक मानों के करीब ही रहने चाहिए।
अगर \(a = 1\) हो तो? \(\text{Gamma}(1, b)\) दरअसल चरघातांकी (Exponential) वितरण है जिसका माध्य \(b\) होता है। \(a\) के पूर्णांक मान अरलैंग (Erlang) वितरण देते हैं।
\(b\) दर है या स्केल? यह एक स्केल है। माध्य \(a\cdot b\) के बराबर होता है, इसलिए \(b\) जितना बड़ा होगा, वितरण उतना ही बड़े मानों की ओर खिंच जाएगा।
