ماذا تفعل هذه الحاسبة

تتيح لك هذه الأداة حساب الحلّين المستقلّين خطيًّا لمعادلة بيسل التفاضلية $x^2 y'' + x y' + (x^2 - v^2) y = 0$: دالة بيسل من النوع الأول J_v(x)، ودالة النوع الثاني Y_v(x) (المعروفة أيضًا بدالة نويمان)، إضافةً إلى مشتقتيهما الأوليتين J'_v(x) وY'_v(x). تقبل الأداة أي رتبة حقيقية v (صحيحة أو كسرية أو سالبة) ووسيطًا حقيقيًّا x. وتظهر دوال بيسل في كثير من مجالات الفيزياء والهندسة، مثل اهتزاز الأغشية الدائرية، وانتقال الحرارة في الأسطوانات، وانتشار الموجات الكهرومغناطيسية في الموجّهات الموجية، ومعالجة الإشارات.

منحنيات متذبذبة ومتلاشية لدوال بِسِل من النوع الأول J0 وJ1 وJ2 بالنسبة إلى x — دوال بِسِل من النوع الأول Jᵥ(x) تتذبذب وتتلاشى ببطء مع زيادة x.

طريقة الاستخدام

أدخل الرتبة v (مثلًا 0 أو 1 أو 0.5)، ثم الوسيط x، واختر عدد الأرقام التي تريد عرضها. اضغط على زرّ الحساب لتظهر لك القيم الأربع جميعها. وعند استخدام رتبة غير صحيحة، احرص على أن يكون $x \geq 0$، لأن المقدار $(x/2)^v$ يصبح عددًا مركّبًا عند قيم x السالبة. أما عند $x = 0$ فإن دوال النوع الثاني تكون شاذّة، ويُشار إليها على أنها غير معرّفة.

شرح الصيغة

تُحسب J_v(x) من متسلسلتها الأسّية باستخدام دالة غاما، بجمع الحدود واحدًا تلو الآخر عبر تكرار مستقر حتى تنخفض قيمة الحدود دون حدّ التسامح:

$$J_{\nu}(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k!\,\Gamma(\nu+k+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2k+\nu}$$

أما Y_v(x) للرتب غير الصحيحة فتُحسب بالعلاقة

$$Y_{\nu}(x) = \frac{J_{\nu}(x)\cos(\nu\pi) - J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)}$$

وفي حالة الرتبة الصحيحة تُجري الحاسبة إزاحة طفيفة على v (بمقدار 1e-7) لتفادي القسمة على $\sin(\nu\pi)=0$. وتُحسب المشتقات بعلاقة التكرار

$$C_{\nu}^{\prime}(x) = \tfrac{1}{2}\bigl(C_{\nu-1}(x) - C_{\nu+1}(x)\bigr)$$

مع الحالة الخاصة $C_{0}^{\prime}(x) = -C_{1}(x)$.

منحنيات دوال بِسِل من النوع الثاني Y0 وY1 وY2 المتباعدة نحو سالب اللانهاية قرب الصفر — دوال النوع الثاني Yᵥ(x) تنحدر نحو سالب اللانهاية عندما تقترب x من 0.

مثال محلول

عند $v = 0$ و$x = 1$: تعطي متسلسلة J₀(1) القيم $1 - 0.25 + 0.015625 - 0.000434 + \dots \approx 0.7651977$. أما القيم المعروفة فهي: $Y_{0}(1) \approx 0.0882570$، و$J_{0}^{\prime}(1) = -J_{1}(1) \approx -0.4400506$، و$Y_{0}^{\prime}(1) = -Y_{1}(1) \approx 0.7812128$.

المصطلحات والمتغيرات الرئيسية

الترتيب $\nu$: المعامل $\nu$ في $J_\nu(x)$ و $Y_\nu(x)$ الذي يحدد شكل المعادلة التفاضلية $x^2 y'' + x y' + (x^2-\nu^2)y = 0$. يمكن أن يكون أي عدد حقيقي؛ ترتيب الأعداد الصحيحة ($\nu = 0,1,2,\dots$) تنشأ من الفصل الزاوي في الإحداثيات الأسطوانية، بينما الرتب شبه الصحيحة تعطي دوال بيسل الكروية التي يمكن التعبير عنها بدوال ابتدائية.
المتغير $x$: المتغير المستقل الذي يتم تقييم الدالة عنده، عادة مسافة شعاعية مقيسة $x = kr$. بالنسبة إلى $x$ حقيقي، $J_\nu$ له قيمة حقيقية بالنسبة إلى $\nu$ صحيح، و $Y_\nu$ معرّف فقط لـ $x>0$.
دالة بيسل من النوع الأول $J_\nu(x)$: الحل الذي يكون محدوداً عند الأصل (لـ $\nu\ge 0$)، معرّف بالسلسلة $J_\nu(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(\nu+k+1)}\left(\tfrac{x}{2}\right)^{2k+\nu}$. يتذبذب مع سعة تتناقص ببطء عندما تزداد $x$.
دالة بيسل من النوع الثاني $Y_\nu(x)$: تسمى أيضاً دالة نيومان (أو ويبر)، وهي الحل الثاني المستقل خطياً. معرّفة عبر $Y_\nu(x)=\dfrac{J_\nu(x)\cos(\nu\pi)-J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)}$ (مع صيغة محددة بالحد للأعداد الصحيحة $\nu$) وتتباعد لوغاريتمياً أو كقوة من $x$ عند الأصل.
المشتقات $J'_\nu(x)$، $Y'_\nu(x)$: المشتقات بالنسبة إلى $x$. تحقق التكرار $C'_\nu(x)=\tfrac{1}{2}\bigl(C_{\nu-1}(x)-C_{\nu+1}(x)\bigr)$ و $C'_\nu(x)=C_{\nu-1}(x)-\tfrac{\nu}{x}C_\nu(x)$، حيث $C$ يمثل إما $J$ أو $Y$. على وجه الخصوص $J'_0(x)=-J_1(x)$.
دالة جاما $\Gamma(z)$: امتداد مستمر للمضروب، مع $\Gamma(n+1)=n!$ للأعداد الصحيحة غير السالبة، تظهر في مقام سلسلة $J_\nu$ للسماح برتبة غير صحيحة. انظر حاسبة دالة جاما للقيم الفردية.
الأصفار (الجذور): القيم $j_{\nu,m}$ و $y_{\nu,m}$ حيث $J_\nu(x)=0$ أو $Y_\nu(x)=0$. تعمل كقيم ذاتية في مسائل القيمة الحدية؛ على سبيل المثال، ترددات الغشاء الدائري ذات الحافة الثابتة متناسبة مع الأصفار $j_{\nu,m}$.

الأسئلة الشائعة

هل يمكن أن تكون الرتبة سالبة أو كسرية؟ نعم. تتعامل المتسلسلة ودالة غاما مع أي قيمة حقيقية لـ v. فقط احرص على أن يكون $x \geq 0$ إذا كانت الرتبة غير صحيحة.

لماذا تكون Y غير معرّفة عند x = 0؟ لأن جميع دوال بيسل من النوع الثاني تتباعد نحو سالب ما لا نهاية عندما يقترب x من الصفر، ومن ثَمّ لا توجد قيمة منتهية عند هذه النقطة.

ما مدى دقّة الحسابات؟ تُجرى الحسابات بدقّة مضاعفة (نحو 15 رقمًا معنويًّا). أما خيار عدد الأرقام المعروضة فيتحكّم في طريقة التنسيق فقط، لا في العمليات الحسابية الأساسية.

Y_v(x) (النوع الثاني)	٠٫٠٨٨٢٥٦٨٤٦٤
J'_v(x) (مشتقة النوع الأول)	؜-٠٫٤٤٠٠٥٠٥٨٥٧
Y'_v(x) (مشتقة النوع الثاني)	٠٫٧٨١٢١٢٨٨٠٩

حاسبة دوال بيسل Jv(x) وYv(x) ومشتقاتها

أدخل الحساب

صيغة رياضية

Bessel Function of the Second Kind

Derivatives of Jv and Yv

نتائج