Qué hace esta calculadora
La calculadora gráfica de la función zeta de Riemann evalúa la función zeta de argumento real, \(\zeta(x)\), a lo largo de un rango de valores de x. Para cada punto devuelve tanto \(\zeta(x)\) como el valor desplazado \(\zeta(x) - 1\), algo muy útil porque \(\zeta(x)\) tiende a 1 cuando x es un positivo grande, de modo que \(\zeta(x) - 1\) muestra con mayor claridad la cola que decae. El resultado es una tabla que sirve, a su vez, como datos para representar la gráfica.
Cómo usarla
Introduce tres números: el valor inicial de x, el incremento (paso) que se suma en cada iteración y el número de iteraciones (puntos). La calculadora genera $$x_k = \text{Initial }x + k\cdot\text{Increment},\quad k = 0,1,\dots,\text{Iterations}-1$$ y calcula zeta en cada uno de ellos. Por ejemplo, con xInicial = −14, paso = 0,1 y 131 iteraciones, x recorre desde −14 hasta −1.
La fórmula explicada
Para \(x > 1\), la función es la serie de Dirichlet convergente, la suma de \(1/n^{x}\): $$\zeta(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}$$ esta calculadora la acelera con una corrección de cola de Euler-Maclaurin, de manera que bastan unos 20 términos. Para x igual o menor que 1 se emplea la ecuación funcional $$\zeta(x) = 2^{x}\,\pi^{x-1}\,\sin\!\left(\frac{\pi x}{2}\right)\Gamma(1-x)\,\zeta(1-x)$$ donde la función gamma se evalúa mediante la aproximación de Lanczos. Casos especiales: x = 1 es un polo simple (infinito) y los enteros pares negativos (−2, −4, −6, ...) son ceros triviales.
Ejemplo resuelto
Con xInicial = 2, paso = 1 e iteraciones = 4, los puntos son x = 2, 3, 4, 5. Los resultados son $$\zeta(2) = \frac{\pi^{2}}{6} = 1{,}6449340668$$ $$\zeta(3) = 1{,}2020569032$$ $$\zeta(4) = \frac{\pi^{4}}{90} = 1{,}0823232337$$ y $$\zeta(5) = 1{,}0369277551$$ La columna correspondiente de \(\zeta(x) - 1\) arranca en 0,6449340668 y se va acercando a 0.
Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale \(\zeta(0)\)? La continuación analítica da \(\zeta(0) = -1/2\), así que \(\zeta(0) - 1 = -3/2\).
¿Cuánto vale \(\zeta(-1)\)? \(\zeta(-1) = -1/12\), el célebre valor regularizado asociado a 1 + 2 + 3 + ...
¿Por qué la gráfica cae exactamente a cero en −2, −4 y −6? Son los ceros triviales de la función zeta, puntos donde \(\sin(\pi x/2)\) se anula en la ecuación funcional.
