この計算機でできること
このリーマンのゼータ関数グラフ計算機は、実数を引数とするリーマンのゼータ関数 \(\zeta(x)\) を、指定した \(x\) の範囲にわたって計算します。各点について \(\zeta(x)\) と、1 を差し引いた \(\zeta(x) - 1\) の両方を表示します。\(x\) が大きな正の値になると \(\zeta(x)\) は 1 に近づくため、\(\zeta(x) - 1\) を見れば 0 へと減衰していく裾の挙動がよりはっきりと分かります。出力は表として得られ、そのままグラフ描画用のデータとしても利用できます。
使い方
3 つの数値を入力します。\(x\) の初期値、繰り返しごとに加える増分（刻み幅）、そして繰り返し回数（点の数）です。本計算機は \(k = 0, 1, \dots, \text{繰り返し回数} - 1\) に対して $$x_k = \text{初期値} + k \times \text{刻み幅}$$ を生成し、それぞれの点で \(\zeta\) を計算します。たとえば初期値 = −14、刻み幅 = 0.1、繰り返し回数 = 131 とすると、\(x\) は −14 から −1 まで掃引されます。
計算式の解説
\(x > 1\) の場合、ゼータ関数は収束するディリクレ級数 $$\zeta(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}$$ で表されます。本計算機ではオイラー・マクローリンの剰余項による補正で収束を加速しており、およそ 20 項程度で十分な精度が得られます。\(x\) が 1 以下の場合は関数等式 $$\zeta(x) = 2^{x}\,\pi^{x-1}\,\sin\!\left(\frac{\pi x}{2}\right)\Gamma(1-x)\,\zeta(1-x)$$ を用います。ここでガンマ関数はランチョス近似で評価します。特殊なケースとして、\(x = 1\) は単純極（無限大）であり、負の偶数（−2, −4, −6, …）は自明な零点となります。
計算例
初期値 = 2、刻み幅 = 1、繰り返し回数 = 4 とすると、点は \(x = 2, 3, 4, 5\) になります。結果は \(\zeta(2) = \pi^2/6 = 1.6449340668\)、\(\zeta(3) = 1.2020569032\)、\(\zeta(4) = \pi^4/90 = 1.0823232337\)、\(\zeta(5) = 1.0369277551\) です。対応する \(\zeta(x) - 1\) の列は 0.6449340668 から始まり、0 に向かって小さくなっていきます。
よくある質問
\(\zeta(0)\) はいくつですか？ 解析接続により \(\zeta(0) = -1/2\) となります。したがって \(\zeta(0) - 1 = -3/2\) です。
\(\zeta(-1)\) はいくつですか？ \(\zeta(-1) = -1/12\) です。これは \(1 + 2 + 3 + \dots\) の正則化された値として有名です。
なぜグラフは −2, −4, −6 でちょうど 0 になるのですか？ これらはゼータ関数の自明な零点で、関数等式の中の \(\sin(\pi x/2)\) が 0 になるためです。
