百分位转Z分数计算器

结果

Z-Score for the 97.5th Percentile

1.96

与均值相差的标准差数

百分位	97.5%
Z分数	1.96

什么是百分位转Z分数计算器？

这款工具可以把一个百分位换算成标准正态分布（均值为 0、标准差为 1）上对应的 Z分数。Z分数表示某个数值高于或低于均值多少个标准差。由于百分位描述的是某一点以下数据所占的比例，因此要求出对应的 Z分数，就需要用到正态累积分布函数（CDF）的逆函数，记作 $\Phi^{-1}$。

输入一个介于 0 到 100 之间的百分位——例如，90 表示"有 90% 的数值落在此点以下"。计算器会返回相应的 Z分数。小于 50 的百分位得到负的 Z分数（低于均值），正好等于 50 时为 0，大于 50 则得到正的 Z分数。

设 $p$ 为百分位除以 100，则

$$z = \Phi^{-1}\!\left(\frac{\text{Percentile}}{100}\right) \quad\text{such that}\quad \Phi(z) = \frac{\text{Percentile}}{100}$$

其中 $\Phi$ 是标准正态分布的累积分布函数。$\Phi^{-1}$ 没有简单的封闭解析式，因此本计算器采用 Acklam 有理近似算法，在整个取值范围内的精度约为 $1\times10^{-9}$。

假设你想求第 97.5 百分位对应的 Z分数，令 $p = 0.975$。标准正态逆累积分布函数返回 $z \approx$ 1.9600。这正是 95% 置信区间常用的临界值（因为左右两尾各占 2.5%）。

第 50 百分位对应的 Z分数是多少？正好是 0，因为正态分布的中位数恰好位于均值处。

为什么不能输入 0 或 100？百分位 0 和 100 对应的 Z分数分别为负无穷和正无穷。计算器会对极端输入进行限制，改为返回一个非常大的有限数值。

这是针对标准正态分布的吗？是的。若要换算到均值为 $\mu$、标准差为 $\sigma$ 的实际分布，可使用公式 $x = \mu + z\cdot\sigma$。