Qu'est-ce qu'un calculateur de percentile vers score Z ?
Cet outil transforme un percentile en son score Z correspondant sur la loi normale centrée réduite (moyenne de 0, écart-type de 1). Le score Z indique de combien d'écarts-types une valeur se situe au-dessus ou en dessous de la moyenne. Comme un percentile représente la proportion de données situées sous un point donné, le calcul du score Z fait appel à la fonction inverse de la fonction de répartition de la loi normale, notée \(\Phi^{-1}\).
Comment l'utiliser
Saisissez un percentile compris entre 0 et 100 — par exemple, 90 signifie que « 90 % des valeurs se situent en dessous de ce point ». Le calculateur affiche alors le score Z. Les percentiles inférieurs à 50 donnent des scores Z négatifs (en dessous de la moyenne), 50 correspond exactement à 0, et les valeurs supérieures à 50 produisent des scores Z positifs.
La formule expliquée
Si l'on note \(p\) le percentile divisé par 100, alors \(z = \Phi^{-1}(p)\), où \(\Phi\) désigne la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
$$z = \Phi^{-1}\!\left(\frac{\text{Percentile}}{100}\right) \quad\text{such that}\quad \Phi(z) = \frac{\text{Percentile}}{100}$$Il n'existe pas de forme analytique simple pour \(\Phi^{-1}\) : ce calculateur s'appuie donc sur l'approximation rationnelle d'Acklam, précise à environ \(1\times10^{-9}\) sur toute l'étendue des valeurs.
Exemple concret
Imaginons que vous cherchiez le score Z du 97,5ᵉ percentile. Posez \(p = 0{,}975\). La fonction normale inverse renvoie \(z \approx\) 1,9600. C'est la valeur critique bien connue utilisée pour un intervalle de confiance à 95 % (puisque 2,5 % se répartissent dans chaque queue de la distribution).
Foire aux questions
Quel score Z correspond au 50ᵉ percentile ? Exactement 0, car la médiane d'une loi normale coïncide avec sa moyenne.
Pourquoi ne puis-je pas saisir 0 ou 100 ? Les scores Z associés à 0 et 100 valent respectivement moins l'infini et plus l'infini. Le calculateur borne donc les valeurs extrêmes afin de renvoyer un nombre fini très grand.
Est-ce valable pour la loi normale centrée réduite ? Oui. Pour passer à une loi normale quelconque de moyenne \(\mu\) et d'écart-type \(\sigma\), utilisez la formule \(x = \mu + z\cdot\sigma\).
