बाहरी बिंदु से स्पर्श रेखा की लंबाई कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

बिंदु से केंद्र तक की दूरी (d)

वृत्त की त्रिज्या (r)

परिणाम

स्पर्श रेखा की लंबाई

12

इकाई

केंद्र तक की दूरी (d)	13
त्रिज्या (r)	5
सूत्र	L = √(d² − r²)

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल किसी वृत्त के बाहर स्थित बिंदु से उस जगह तक खींचे गए स्पर्श रेखा खंड की लंबाई निकालता है, जहाँ वह रेखा वृत्त को छूती (स्पर्श करती) है। चूँकि स्पर्श रेखा वृत्त को ठीक एक ही बिंदु पर छूती है और उस बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है, इसलिए त्रिज्या, स्पर्श खंड और बाहरी बिंदु को केंद्र से जोड़ने वाली रेखा मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं। यह कैलकुलेटर उसी त्रिभुज पर पाइथागोरस प्रमेय लागू करता है।

सूत्र

स्पर्श रेखा की लंबाई इस सूत्र से मिलती है:

$$L = \sqrt{\text{Distance (d)}^{2} - \text{Radius (r)}^{2}}$$

जहाँ d बाहरी बिंदु से वृत्त के केंद्र तक की सीधी दूरी है और r वृत्त की त्रिज्या है। यहाँ \(d\) समकोण त्रिभुज का कर्ण है, \(r\) एक भुजा है (स्पर्श बिंदु तक की त्रिज्या), और \(L\) दूसरी भुजा है (स्पर्श खंड)। वास्तविक स्पर्श रेखा तभी संभव है जब बिंदु वृत्त के बाहर हो, यानी d का मान r से बड़ा होना चाहिए।

स्पर्शरेखा की लंबाई L, त्रिज्या r और दूरी d एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं, जिसका समकोण स्पर्श बिंदु पर होता है।

इसका उपयोग कैसे करें

अपने बाहरी बिंदु से वृत्त के केंद्र तक की दूरी डालें, फिर उसी इकाई में वृत्त की त्रिज्या डालें। गणना करें बटन दबाते ही स्पर्श रेखा की लंबाई दिख जाएगी। परिणाम उसी इकाई में आएगा जिसमें आपने अपने मान भरे थे।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए कोई बिंदु ऐसे वृत्त के केंद्र से 13 इकाई दूर है जिसकी त्रिज्या 5 इकाई है। तब

$$L = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ इकाई}$$

उस बिंदु से खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं में से हर एक की लंबाई 12 इकाई होगी।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

किसी बिंदु से खींची गई दोनों स्पर्श रेखाएँ बराबर क्यों होती हैं? समरूपता (symmetry) के कारण, किसी बाहरी बिंदु से वृत्त तक खींचे गए दोनों स्पर्श खंड सर्वांगसम होते हैं, इसलिए यही एक लंबाई दोनों पर लागू होती है।

अगर d, r से कम हो तो क्या होगा? ऐसी स्थिति में बिंदु वृत्त के अंदर है और कोई स्पर्श रेखा नहीं खींची जा सकती; सूत्र कोई वास्तविक मान नहीं देता, इसलिए ऐसे मामले में यह कैलकुलेटर शून्य दिखाता है।

अगर d, r के बराबर हो तो क्या होगा? तब बिंदु ठीक वृत्त पर ही स्थित है और स्पर्श रेखा की लंबाई शून्य होती है।