समांतर रेखा का समीकरण क्या होता है?
दो रेखाएं तब समांतर कहलाती हैं जब उनकी ढाल (slope) बिल्कुल एक जैसी हो, लेकिन वे कभी एक-दूसरे को नहीं काटतीं। यह कैलकुलेटर ऐसी रेखा का समीकरण निकालता है जो किसी दी गई ढाल m वाली रेखा के समांतर हो और एक चुने हुए बिंदु (x₁, y₁) से होकर गुजरती हो। चूंकि समांतर रेखाओं की ढाल एक समान होती है, इसलिए केवल y-अंतःखंड (y-intercept) ही बदलता है। यह टूल परिणाम को ढाल-अंतःखंड रूप यानी \( y = mx + b \) में देता है।
इसका उपयोग कैसे करें
मूल रेखा की ढाल m दर्ज करें। यदि आपके पास केवल मूल रेखा का समीकरण है, तो उसकी ढाल सीधे पढ़ लें (यानी \( y = mx + b \) में x का गुणांक)। इसके बाद उस बिंदु के निर्देशांक दर्ज करें जिससे नई रेखा को गुजरना है। कैलकुलेटर y-अंतःखंड की गणना करके पूरा समीकरण दिखा देगा।
सूत्र की व्याख्या
शुरुआत बिंदु-ढाल रूप से करें: $$ y - y_1 = m(x - x_1) $$ इसका विस्तार करके y के लिए हल करने पर मिलता है $$ y = mx + (y_1 - m\cdot x_1) $$ यानी नया y-अंतःखंड होगा \( b = y_1 - m\cdot x_1 \)। ढाल बिल्कुल वैसी ही रहती है ताकि दोनों रेखाएं समांतर बनी रहें।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए हमें ढाल \( m = 2 \) वाली रेखा के समांतर और बिंदु (3, 5) से होकर गुजरने वाली रेखा निकालनी है। गणना करें: $$ b = 5 - 2\cdot 3 = 5 - 6 = -1 $$ तो समीकरण होगा \( y = 2x - 1 \)। आप इसकी जांच भी कर सकते हैं: \( x = 3 \) पर, \( y = 2(3) - 1 = 5 \) ✓।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
समांतर रेखाओं की ढाल कैसी होती है? बिल्कुल एक जैसी। यदि रेखा A की ढाल 2 है, तो उसके समांतर हर रेखा की ढाल भी 2 ही होगी।
यह लंबवत (perpendicular) रेखा से कैसे अलग है? लंबवत रेखाओं की ढाल एक-दूसरे की ऋणात्मक व्युत्क्रम (\( m \) और \( -1/m \)) होती है, जबकि समांतर रेखाएं समान ढाल बनाए रखती हैं।
अगर मेरी ढाल शून्य हो तो? ढाल 0 का मतलब है क्षैतिज (horizontal) रेखा; ऐसी स्थिति में समांतर रेखा \( y = y_1 \) होगी, यानी एक स्थिर मान।
