相似三角形計算器

輸入計算

三角形 1 的已知邊（a）與三角形 2 的對應邊（a'）

邊 a（三角形 1）

邊 a'（三角形 2）

邊 b（三角形 1）

邊 c（三角形 1）

結果

比例因子（k）

2

比值 a' / a

對應邊 b'	8
對應邊 c'	10
面積比（k²）	4

什麼是相似三角形計算器？

當兩個三角形形狀相同但大小可能不同時，我們稱它們為「相似」——它們的對應角相等，而對應邊則維持固定的比例關係。這個計算器會從一組已配對的邊長中，找出這個比值，也就是所謂的比例因子（k），接著用它推算其餘邊長，並比較兩者的面積大小。

使用方法

先輸入第一個三角形的邊 a，以及第二個三角形與它對應的邊 a'。接著輸入第一個三角形的另外兩條邊 b 與 c。計算器隨即算出比例因子、對應的邊長 b' 與 c'，以及面積比。

公式解析

比例因子的算法很單純：\(k = a' / a\)。由於所有對應邊都遵循這個相同的比值，因此 \(b' = k \cdot b\)、\(c' = k \cdot c\)。而面積屬於二維量度，會隨線性因子的平方放大或縮小，所以 \(A'/A = k^2\)。

$$\begin{gathered} k = \dfrac{\text{Side } a^{\prime}}{\text{Side } a} \\[1.5em] b^{\prime} = k \cdot \text{Side } b \qquad c^{\prime} = k \cdot \text{Side } c \qquad \text{Area Ratio} = k^{2} \end{gathered}$$

舉例來說，若把每條邊都加倍（\(k = 2\)），三角形的面積就會變成原本的四倍。

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對應邊以相同的比例因子 k 縮放，而角保持相等。

範例演練

假設三角形 1 的三邊為 \(a = 3\)、\(b = 4\)、\(c = 5\)，而三角形 2 中對應的邊為 \(a' = 6\)。那麼 \(k = 6 / 3 = 2\)。於是 \(b' = 2 \times 4 = 8\)、\(c' = 2 \times 5 = 10\)。面積比為 \(k^2 = 4\)，也就是說第二個三角形的面積是第一個的四倍。

每條邊加倍（k=2）使面積變為四倍（k²）。

常見問題

我該如何判斷哪些邊互相對應？對應邊位於相等的角的對面。只要把在兩個三角形中扮演相同角色的邊配成一對即可。

如果 k 小於 1 會怎樣？這表示第二個三角形比較小；面積比仍然是 \(k^2\)（此時數值會小於 1）。

這能證明兩個三角形相似嗎？不能——它的前提是兩者已經相似。請先用相似判別法（AA、SSS 或 SAS）確認相似關係，再用本工具來推算邊長。