Ce que fait cette calculatrice
Cet outil détermine l'équation d'une droite dans l'espace à trois dimensions qui passe par deux points donnés, \(A=(x_1,y_1,z_1)\) et \(B=(x_2,y_2,z_2)\). Dans l'espace 3D, une droite ne peut pas s'écrire sous la forme d'une simple formule \(y=mx+b\) : on l'exprime donc à l'aide d'un vecteur directeur, accompagné de ses formes paramétrique et symétrique. La calculatrice fournit également la distance en ligne droite entre les deux points.
La formule
Le vecteur directeur pointe de \(A\) vers \(B\) :
$$\vec{d} = \langle a, b, c \rangle = \langle x_2 - x_1,\; y_2 - y_1,\; z_2 - z_1 \rangle$$En prenant \(A\) comme point d'ancrage, la droite est décrite sous forme paramétrique avec le paramètre \(t\) :
$$\vec{r}(t) = (x_1, y_1, z_1) + t\,\langle a, b, c \rangle$$où \(a\), \(b\) et \(c\) sont les composantes du vecteur directeur. La forme symétrique (quand aucune composante n'est nulle) s'écrit \(\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}\).
Comment l'utiliser
Saisissez les trois coordonnées du point A et les trois coordonnées du point B, puis lisez directement les équations paramétriques et le vecteur directeur. Le paramètre \(t\) parcourt l'ensemble des nombres réels : \(t=0\) donne le point A et \(t=1\) donne le point B.
Exemple résolu
Prenons \(A=(1,2,3)\) et \(B=(4,6,8)\). Le vecteur directeur est
$$\vec{d} = \langle 4-1,\; 6-2,\; 8-3 \rangle = \langle 3, 4, 5 \rangle$$la droite s'écrit donc \(x = 1 + 3t,\; y = 2 + 4t,\; z = 3 + 5t\). La distance entre les deux points vaut
$$|\vec{d}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{50} \approx 7{,}071$$
Calcul étape par étape
Étant donné deux points distincts \(A=(x_1,y_1,z_1)\) et \(B=(x_2,y_2,z_2)\), la ligne qui les traverse est construite à partir d'un vecteur directeur et d'un point d'ancrage. Suivez ces cinq étapes.
- Calculez les composantes du vecteur directeur. Soustrayez les coordonnées de \(A\) de \(B\) :
$$a = x_2-x_1,\quad b = y_2-y_1,\quad c = z_2-z_1$$
de sorte que le vecteur directeur est \(\vec{d}=\langle a,b,c\rangle\). Ce vecteur pointe de \(A\) vers \(B\). - Choisissez un point d'ancrage. N'importe quel point sur la ligne fonctionne ; le choix le plus simple est \(A=(x_1,y_1,z_1)\), donnant \((x_0,y_0,z_0)=(x_1,y_1,z_1)\).
- Écrivez les équations paramétriques. Ajoutez \(t\) fois le vecteur directeur au point d'ancrage :
$$x = x_1 + a\,t,\qquad y = y_1 + b\,t,\qquad z = z_1 + c\,t$$
À \(t=0\) vous êtes à \(A\) ; à \(t=1\) vous êtes à \(B\). - Formez les équations symétriques. Résolvez chaque équation paramétrique pour \(t\) et égalisez-les :
$$\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$$
Gestion des composantes nulles : si un dénominateur est \(0\) (disons \(a=0\)) vous ne pouvez pas diviser par lui. Omettez plutôt ce rapport et énoncez la contrainte directement comme \(x = x_1\), puis écrivez la forme symétrique en utilisant seulement les composantes non nulles. - Calculez la distance entre les points. La distance \(|AB|\) est égale à la magnitude du vecteur directeur :
$$|AB| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$
Autres exemples détaillés
Exemple 1 — Une composante de direction nulle
Soit \(A=(2,1,5)\) et \(B=(2,4,5)\).
- Vecteur directeur : \(a=2-2=0\), \(b=4-1=3\), \(c=5-5=0\), donc \(\vec{d}=\langle 0,3,0\rangle\).
- Forme paramétrique : \(x = 2,\ y = 1 + 3t,\ z = 5\).
- Forme symétrique : comme \(a=0\) et \(c=0\), les rapports \(x\) et \(z\) sont indéfinis et disparaissent. La ligne est décrite par les contraintes
$$x = 2,\quad z = 5\quad(y\text{ libre}).$$
C'est une ligne parallèle à l'axe des \(y\). - Distance : \(|AB| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = \) 3.
Exemple 2 — Coordonnées négatives
Soit \(A=(-3,2,-1)\) et \(B=(1,-4,5)\).
- Vecteur directeur : \(a=1-(-3)=4\), \(b=-4-2=-6\), \(c=5-(-1)=6\), donc \(\vec{d}=\langle 4,-6,6\rangle\).
- Forme paramétrique : \(x = -3 + 4t,\ y = 2 - 6t,\ z = -1 + 6t\).
- Forme symétrique :
$$\frac{x+3}{4} = \frac{y-2}{-6} = \frac{z+1}{6}.$$ - Distance : \(|AB| = \sqrt{4^2 + (-6)^2 + 6^2} = \sqrt{16+36+36} = \sqrt{88} \approx \) 9.38.
Exemple 3 — Une ligne entière nette
Soit \(A=(1,0,2)\) et \(B=(4,3,2)\).
- Vecteur directeur : \(a=3\), \(b=3\), \(c=0\), donc \(\vec{d}=\langle 3,3,0\rangle\).
- Forme paramétrique : \(x = 1 + 3t,\ y = 3t,\ z = 2\).
- Forme symétrique (le rapport \(z\) disparaît parce que \(c=0\)) :
$$\frac{x-1}{3} = \frac{y}{3},\quad z = 2.$$ - Distance : \(|AB| = \sqrt{3^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{18} \approx 4.24\).
Définitions et glossaire
- Vecteur directeur
- Le vecteur \(\vec{d}=\langle a,b,c\rangle\) obtenu à partir des différences de coordonnées \(a=x_2-x_1\), \(b=y_2-y_1\), \(c=z_2-z_1\). Il donne l'orientation de la ligne ; tout multiple scalaire non nul de celui-ci décrit la même ligne.
- Équation paramétrique
- La représentation \(\vec{r}(t)=\langle x_0,y_0,z_0\rangle + t\langle a,b,c\rangle\), c'est-à-dire \(x=x_0+at,\ y=y_0+bt,\ z=z_0+ct\). Chaque valeur de \(t\) produit un point sur la ligne.
- Forme symétrique
- L'équation \(\dfrac{x-x_1}{a}=\dfrac{y-y_1}{b}=\dfrac{z-z_1}{c}\), obtenue en résolvant chaque équation paramétrique pour \(t\) et en les égalisant. Elle ne contient pas de paramètre explicite.
- Paramètre \(t\)
- Le scalaire libre qui fait glisser le point le long de la ligne. \(t=0\) donne le point d'ancrage \(A\) ; \(t=1\) donne \(B\) ; un \(t\) négatif prolonge la ligne dans la direction opposée.
- Point d'ancrage (point de base)
- N'importe quel point connu sur la ligne utilisé comme position de départ \((x_0,y_0,z_0)\). Choisir \(A=(x_1,y_1,z_1)\) est conventionnel, mais \(B\) ou n'importe quel autre point sur la ligne est tout aussi valide.
- Magnitude / distance
- La longueur \(|AB|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\), égale à la magnitude du vecteur directeur quand il est construit à partir des deux points donnés. Elle mesure la distance en ligne droite entre \(A\) et \(B\).
- Composante nulle
- Une composante de direction égale à \(0\) signifie que la ligne ne change pas le long de cet axe : la coordonnée correspondante reste constante. Géométriquement, la ligne est parallèle au plan des deux autres axes (ou à un axe si deux composantes sont nulles). Dans la forme symétrique, ce rapport est indéfini et est remplacé par la contrainte constante, par exemple \(x=x_1\).
FAQ
Que se passe-t-il si les deux points sont identiques ? Le vecteur directeur devient \(\langle 0,0,0\rangle\) et aucune droite unique n'existe — saisissez deux points distincts.
Une composante du vecteur directeur peut-elle être nulle ? Oui. Une composante nulle signifie que la droite est parallèle à l'un des plans de coordonnées ; la forme paramétrique reste valable, mais la forme symétrique omet alors ce terme.
L'équation est-elle unique ? Non. Tout multiple scalaire du vecteur directeur, associé à n'importe quel point de la droite, donne une équation équivalente tout aussi valable.
