तोमोए-सेन जीत संभावना कैलकुलेटर क्या है?
क्षेत्राधिकार नोट (जापान / सूमो नियम): "तोमोए-सेन" जापान के ग्रैंड सूमो में इस्तेमाल होने वाला तीन-खिलाड़ियों का प्लेऑफ़ फ़ॉर्मेट है, जो चैम्पियनशिप के लिए हुई तीन-तरफ़ा बराबरी को सुलझाने के लिए खेला जाता है। इसका संभावना मॉडल सार्वभौमिक है — यह इन्हीं नियमों वाले किसी भी 3-खिलाड़ी रोटेटिंग प्लेऑफ़ पर लागू होता है — पर यह रिवाज़ और इसके नाम जापानी सूमो से आते हैं। यह टूल बताता है कि तीनों प्रतियोगियों में से हर एक के पूरे प्लेऑफ़ को जीतने की कितनी संभावना है।
यह फ़ॉर्मेट कैसे काम करता है
तीन प्रतियोगी आमने-सामने होते हैं। खिलाड़ी A और खिलाड़ी B पहला मुक़ाबला लड़ते हैं, जबकि खिलाड़ी C "बारी का इंतज़ार" करते हुए किनारे रहता है। हर मुक़ाबले का हारने वाला बाहर हो जाता है, जीतने वाला रुकता है और तुरंत इंतज़ार कर रहे प्रतियोगी से भिड़ता है। प्लेऑफ़ जीतने के लिए किसी प्रतियोगी को लगातार दो मुक़ाबले जीतने पड़ते हैं। चूँकि इंतज़ार कर रहे खिलाड़ी C को लगातार दो जीत की जोड़ी शुरू करने से पहले एक मुक़ाबला जीतना ही पड़ता है, इसलिए C संरचनात्मक रूप से नुक़सान में रहता है, जबकि पहले मुक़ाबले के सममित खिलाड़ी A और B को बराबर और ऊँची संभावना मिलती है।
इसका इस्तेमाल कैसे करें
सूमो के मानक "निष्पक्ष" उत्तर के लिए तीनों मुक़ाबला-जीत संभावनाओं को 0.5 पर ही रहने दें। किसी असमान मुक़ाबले को परखने के लिए हर प्रतियोगी की प्रति-मुक़ाबला जीत संभावना (या प्रतिशत) डालें। अंदरूनी तौर पर इन्हें सापेक्ष "ताक़त" की तरह माना जाता है: X और Y के बीच मुक़ाबले में, \(P(X \text{ को } Y \text{ हराए}) = \dfrac{s_X}{s_X + s_Y}\)।
सूत्र
स्थितियों (मौजूदा स्ट्रीक वाला खिलाड़ी, नया आने वाला प्रतिद्वंद्वी) पर एक मार्कोव चेन बनाएँ। अवशोषक (absorbing) स्थिति वह है जहाँ कोई खिलाड़ी अपना लगातार दूसरा मुक़ाबला जीत लेता है। निष्पक्ष 50/50 स्थिति में इस पुनरावृत्ति को हल करने पर वही क्लासिक पाठ्यपुस्तक वाला परिणाम मिलता है:
$$\begin{gathered} P(i \text{ beats } j) = \frac{s_i}{s_i + s_j} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} s_A &= \text{Player A skill} \\ s_B &= \text{Player B skill} \\ s_C &= \text{Player C skill} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
\(P(A) = P(B) = 5/14 \approx 35.71\%\), और \(P(C) = 4/14 = 2/7 \approx 28.57\%\)। इनका योग बिल्कुल 1 होता है।
हल किया गया उदाहरण
तीनों मुक़ाबला संभावनाएँ \(= 0.5\)। खिलाड़ी A पहला मुक़ाबला जीतता है \((1/2)\), फिर तुरंत दोबारा जीतकर खिताब अपने नाम कर सकता है \((1/2)\)। उन सभी तरीक़ों के लिए अनंत ज्यामितीय श्रेणी (geometric series) का योग, जिनसे A बाद में दोबारा बारी पाकर अपनी स्ट्रीक पूरी कर सकता है, ठीक \(5/14\) देता है। सममिति के कारण B को भी \(5/14\) मिलता है, और C को \(1 - 2 \times (5/14) = 4/14 \approx 28.57\%\) मिलता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
इंतज़ार कर रहा खिलाड़ी नुक़सान में क्यों रहता है? A और B तुरंत शुरुआत से ही लगातार दो जीत के साथ खिताब जीत सकते हैं; जबकि C को लगातार जोड़ी शुरू करने से पहले पहले मुक़ाबले के विजेता को हराना पड़ता है।
क्या प्लेऑफ़ हमेशा ख़त्म हो जाता है? हाँ — लगातार दो जीत के बिना हमेशा चलते रहने की संभावना 0 की ओर जाती है, इसलिए तीनों संभावनाओं का योग बिल्कुल 1 होता है।
क्या ड्रॉ की अनुमति है? नहीं। सूमो प्लेऑफ़ के मुक़ाबलों में हमेशा एक विजेता निकलता है, इसलिए हर मुक़ाबला जीत/हार में ही तय होता है।
