Что такое калькулятор вероятности победы в томоэ-сэн?
Важно о специфике (Япония / правила сумо): «томоэ-сэн» — это формат плей-офф из трёх человек, который применяется в профессиональном сумо (одзумо), когда за титул борются сразу трое участников с одинаковым счётом. Сама вероятностная модель универсальна — она подходит для любого ротационного плей-офф из трёх игроков с такими правилами, — но традиция и термины пришли именно из японского сумо. Этот калькулятор показывает, с какой вероятностью каждый из трёх борцов выиграет весь плей-офф.
Как устроен формат
В борьбе участвуют трое. Борцы A и B проводят первую схватку, а борец C ждёт своей очереди «в запасе». Проигравший в каждой схватке уступает место, а победитель остаётся и сразу же выходит против ожидающего соперника. Чтобы выиграть весь плей-офф, нужно одержать две победы подряд. Поскольку ожидающий борец C сначала обязан выиграть одну схватку, прежде чем сможет хотя бы начать серию из двух подряд, он оказывается в структурно невыгодном положении, тогда как симметричные участники первой схватки A и B имеют более высокий и равный между собой шанс.
Как пользоваться калькулятором
Чтобы получить классический «честный» ответ для сумо, оставьте все три вероятности победы в схватке равными 0,5. Чтобы рассмотреть неравный поединок, введите для каждого участника его вероятность победы в отдельной схватке (или процент). Внутри они трактуются как относительная «сила»: в схватке между X и Y вероятность того, что X побеждает Y, равна \(P(X \text{ побеждает } Y) = \frac{s_X}{s_X + s_Y}\).
Формула
Строится цепь Маркова по состояниям (текущий обладатель серии, свежий входящий соперник). Поглощающие состояния — это вторая победа подряд для текущего обладателя серии. Решение рекуррентного соотношения в честном случае 50/50 даёт известный учебный результат:
$$P(i \text{ beats } j) = \frac{s_i}{s_i + s_j}$$\(P(A) = P(B) = \frac{5}{14} \approx 35{,}71\,\%\), а \(P(C) = \frac{4}{14} = \frac{2}{7} \approx 28{,}57\,\%\). В сумме они дают ровно 1.
Разбор примера
Все три вероятности в схватке \(= 0{,}5\). Борец A выигрывает первую схватку \(\left(\frac{1}{2}\right)\), после чего может сразу же взять титул, победив ещё раз \(\left(\frac{1}{2}\right)\). Суммируя бесконечную геометрическую прогрессию по всем вариантам, как A может позднее снова перехватить инициативу и довести серию до конца, получаем ровно \(\frac{5}{14}\). По симметрии B тоже получает \(\frac{5}{14}\), а C — \(1 - 2 \times \frac{5}{14} = \frac{4}{14} \approx 28{,}57\,\%\).
Частые вопросы
Почему ожидающий борец в невыгодном положении? A и B могут взять титул двумя победами подряд, начав прямо сейчас; C же сначала обязан обыграть победителя первой схватки и только потом может начать серию из двух подряд.
Всегда ли плей-офф завершается? Да — вероятность бесконечно долго играть без двух побед подряд стремится к 0, поэтому три вероятности в сумме дают ровно 1.
Возможна ли ничья? Нет. Схватки в плей-офф сумо всегда заканчиваются чьей-то победой, поэтому каждая схватка завершается результатом «победа/поражение».
