Công cụ tính xác suất thắng Tomoe-sen là gì?
Lưu ý về phạm vi áp dụng (luật sumo Nhật Bản): "Tomoe-sen" là thể thức playoff dành cho ba người, được dùng trong Sumo chuyên nghiệp (Ozumo) để phân định ngôi vô địch khi có ba đô vật cùng hòa nhau ở vị trí dẫn đầu. Bản thân mô hình xác suất mang tính phổ quát — nó áp dụng cho bất kỳ trận playoff luân phiên 3 người nào có cùng luật chơi — nhưng tập tục và tên gọi thì bắt nguồn từ sumo Nhật Bản. Công cụ này tính khả năng giành chức vô địch của từng người trong ba đấu thủ.
Thể thức diễn ra như thế nào
Ba đấu thủ cùng tranh tài. Đô vật A và đô vật B bước vào trận đầu tiên, trong khi đô vật C đứng chờ ngoài sân. Sau mỗi trận, người thua lui ra, người thắng ở lại và lập tức đối đầu với đấu thủ đang chờ. Một đấu thủ giành chức vô địch khi thắng hai trận liên tiếp. Vì người chờ C buộc phải thắng một trận trước rồi mới có cơ hội bắt đầu chuỗi hai trận liền nhau, nên về mặt cấu trúc C bị bất lợi, còn hai đô vật vào trận đầu A và B chia nhau xác suất cao hơn và ngang bằng nhau.
Cách sử dụng
Để có đáp án sumo "cân bằng" kinh điển, hãy giữ nguyên cả ba xác suất thắng mỗi trận ở mức 0,5. Nếu muốn khảo sát một cặp đấu chênh lệch, hãy nhập xác suất thắng từng trận của mỗi đấu thủ (theo tỷ lệ hoặc phần trăm). Bên trong, các giá trị này được xem như "sức mạnh" tương đối: trong một trận giữa X và Y, \(P(X \text{ thắng } Y) = \dfrac{s_X}{s_X + s_Y}\).
Công thức
Ta thiết lập một xích Markov trên các trạng thái (người đang giữ chuỗi thắng, đối thủ mới bước vào). Trạng thái hấp thụ là khi người đang giữ chuỗi thắng nốt trận thứ hai liên tiếp. Giải hệ truy hồi trong trường hợp cân bằng 50/50 cho ra kết quả kinh điển trong sách giáo khoa:
$$P(A) = P(B) = \frac{5}{14} \approx 35{,}71\%, \quad P(C) = \frac{4}{14} = \frac{2}{7} \approx 28{,}57\%.$$ Tổng của chúng đúng bằng 1.
Ví dụ minh họa
Cả ba xác suất thắng mỗi trận = 0,5. Đô vật A thắng trận 1 (\(1/2\)), rồi có thể đoạt luôn chức vô địch nếu thắng tiếp (\(1/2\)). Cộng dồn chuỗi cấp số nhân vô hạn cho mọi cách A có thể giành lại quyền và hoàn tất chuỗi thắng về sau, ta được đúng \(5/14\). Theo tính đối xứng, B cũng đạt \(5/14\), còn C nhận \(1 - 2 \times \left(\dfrac{5}{14}\right) = \dfrac{4}{14} \approx 28{,}57\%\).
Câu hỏi thường gặp
Vì sao người chờ lại bị bất lợi? A và B có thể đoạt chức vô địch bằng hai chiến thắng liên tiếp ngay từ đầu; còn C trước hết phải đánh bại người thắng trận 1 thì mới bắt đầu được chuỗi hai trận liền nhau.
Trận playoff có luôn kết thúc không? Có — xác suất kéo dài mãi mãi mà không ai thắng hai trận liên tiếp tiến dần về 0, nên tổng ba xác suất luôn đúng bằng 1.
Có cho phép hòa không? Không. Các trận playoff trong sumo luôn có người thắng kẻ thua, nên mọi trận đều phân định rõ thắng hoặc thua.
